XIII OM - I - Zadanie 11

Dany jest czworokąt $ ABCD $, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym w punkcie $ M $. Udowodnić, że $ 8 $ punktów, w których prostopadle poprowadzone z punktu $ M $ do prostych $ AB $, $ BC $, $ CD $ i $ DA $ przecinają boki czworokąta, leży na okręgu.

Rozwiązanie

Niech $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ oznaczają spodki prostopadłych opuszczonych z punktu $ M $ odpowiednio na boki $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA  $ (rys. 16).

Udowodnimy najpierw, że punkty $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ leżą na okręgu, wykazując, że suma dwóch przeciwległych kątów czworokąta $ PQRS $ równa się $ 180^\circ $.

Każdy z czworokątów $ MPAS $, $ MQBP $, $ MRCQ $ i $ MSDR $ ma dwa kąty proste, więc wierzchołki każdego z nich leżą na okręgu. Według twierdzenia o kątach wpisanych

\[<br />
\measuredangle MPS = \measuredangle MAS \textrm{ i } \measuredangle<br />
MRS = \measuredangle MDS.<br />
\]

Zatem

\[<br />
(1) \qquad  \measuredangle  MPS + \measuredangle MRS = \measuredangle  MAS +    \measuredangle MDS = 90^\circ,<br />
\]

gdyż $ AM \bot DM $.

Podobnie

\[<br />
\measuredangle  MPQ = \measuredangle     MBQ,\quad<br />
\measuredangle  MRQ = \measuredangle  MCQ,<br />
\]

więc

\[<br />
(2) \qquad  \measuredangle MPQ+ \measuredangle MRQ=<br />
\measuredangle MBQ + \measuredangle  MCQ = 90^\circ.<br />
\]

Dodając równości (1) i (2) i uwzględniając, że $ \measuredangle MPS + \measuredangle MPQ = \measuredangle SPQ $, a $ \measuredangle MRS + \measuredangle MRQ = \measuredangle SRQ $, otrzymujemy:

\[<br />
\measuredangle SPQ + \measuredangle SRQ = 180^\circ<br />
\]

Punkty $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ leżą więc istotnie na okręgu. Należy jeszcze dowieść, że na tym samym okręgu leżą również punkty $ P_1 $, $ Q_1 $, $ R_1 $, $ S_1 $, w których proste $ MP $, $ MQ $, $ MR $ i $ MS $ przecinają odpowiednio boki $ CD $, $ DA $, $ AB $ i $ BC $. Wystarczy to udowodnić dla jednego z tych punktów, np. $ Q $, gdyż dla każdego z pozostałych rozumowanie jest takie samo (rys. 17).

Otóż

\[<br />
\measuredangle PSQ_1 = \measuredangle PSA = \measuredangle PMA = 90^\circ - \measuredangle PMB = 90^\circ - \measuredangle PQB = \measuredangle PQQ_1.<br />
\]

Z równości kątów $ PSQ_1 $ i $ PQQ_1 $ wynika, że punkty $ P $, $ Q $, $ S $, $ Q_1 $ leżą, na okręgu c.n.d.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź