XIII OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby $ x $, $ y $, $ z $ spełniają równanie

\[<br />
(1) \qquad  x + y + z = a,<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad  \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{a},<br />
\]

to co najmniej jedna z nich jest równa $ a $.

Rozwiązanie

Jeżeli $ x $, $ y $, $ z $ spełniają równanie (1) i (2), to

\[<br />
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x+y+z}.<br />
\]

Stąd

\[<br />
(3) \qquad  (yz + zx + xy) (x + y + z) - xyz = 0.<br />
\]

Lewą stronę $ L (x, y, z) $ równości (3) można przedstawić w postaci wielomianu zmiennej $ x $. Sprawdzamy przez podstawienie, że gdy $ x = -y $, to wielomian ten jest tożsamościowo równy zeru; jest on zatem podzielny przez $ x + y $. W taki sam sposób stwierdzamy, że $ L (x, y, z) $ jest podzielne przez $ y + z $ i przez $ z + x $, zatem

\[<br />
L (x, y,z) = k(x + y) (y + z) (z + x).<br />
\]

Ponieważ $ L (x, y, z) $ jest stopnia trzeciego względem $ x $, $ y $, $ z $, więc współczynnik $ k $ jest stałą, wobec czego równość (3) jest równoważna równości

\[<br />
(4) \qquad  (x +y)(y + z)(z+x) = 0.<br />
\]

Z (4) wynika, że zachodzi co najmniej jedna z równości

\[<br />
x = -y,\ y = - z,\ z = -x.<br />
\]

Jeżeli $ x = -y $, to z równania (1) otrzymujemy $ z = a $. Podobnie, jeśli $ y = -z $, to $ x = a $, a jeśli $ z = -x $, to $ y = a $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź