XIII OM - II - Zadanie 2

Jakie warunki powinny spełniać liczby rzeczywiste $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, $ e $, $ f $, żeby wielomian stopnia drugiego

\[<br />
(1) \qquad  ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f<br />
\]

był iloczynem dwóch wielomianów stopnia pierwszego o współczynnikach rzeczywistych ?

Rozwiązanie

Zgodnie z tekstem zadania rozważamy tylko wielomiany o współczynnikach rzeczywistych.

Zajmiemy się najpierw przypadkiem, gdy w danym wielomianie (1) współczynnik $ a \ne 0 $ i napiszemy wielomian w postaci

\[<br />
(2) \qquad  ax^2 + 2(by + d)x + (cy^2 + 2ey + f),\quad    (a \ne 0).<br />
\]

Jeżeli wielomian (2) równa się iloczynowi dwóch czynników stopnia pierwszego względem $ x $ i $ y $, to każdy z tych czynników musi być stopnia pierwszego względem $ x $, tzn. wielomian (2) można przedstawić w postaci:

\[<br />
a (x - \alpha) (x - \beta),<br />
\]

gdzie $ \alpha $ i $ \beta $ są funkcjami liniowymi zmiennej $ y $. Wyróżnik funkcji kwadratowej (2) zmiennej $ x $

\[<br />
W = (by + d)^2 - a (cy^2 + 2ey + f)<br />
\]

jest zatem kwadratem funkcji liniowej zmiennej $ y $. Otóż

\[<br />
(3) \qquad  W = (b^2 - ac) y^2 + 2 (bd - ae) y + (d^2 - af),<br />
\]

wiadomo zaś, że funkcja kwadratowa $ Ay^2 + 2By + C $ jest wtedy i tylko wtedy kwadratem funkcji liniowej, gdy $ A \geq 0 $, $ C \geq 0 $, $ B^2 - AC = 0 $. Funkcja $ W $ jest więc kwadratem funkcji liniowej wtedy i tylko wtedy, gdy

\[ (4) \qquad  b^2 - ac \geq 0 \]
\[ (5) \qquad  d^2 - af \geq 0 \]
\[ (6) \qquad  (bd -ae)^2 - (b^2 - ac) (d^2 - af) = 0.\]

Z równości (6) otrzymujemy po wykonaniu działań i podzieleniu przez różną od zera liczbę $ a $ równość

\[<br />
(7) \qquad  ae^2 + b^2f + cd^2 - acf - 2bde = 0.<br />
\]

Znaleźliśmy warunki (4), (5) i (7), które są konieczne do tego, żeby wielomian (2), w którym $ a \ne 0 $, był iloczynem czynników stopnia pierwszego. Warunki te są zarazem dostateczne. Gdy bowiem są one spełnione, to spełniony jest też warunek (6), wobec czego $ W $ jest kwadratem funkcji liniowej zmiennej $ y $. Mianowicie gdy $ b^2 - ac> 0 $, wtedy

\[<br />
W = \left( \sqrt{b^2 - ac} \cdot y + \frac{bd - ac}{\sqrt{b^2 - ac}} \right)^2,<br />
\]

a gdy $   b^2 - ac = 0 $, wtedy $   W = d^2 - af $; wielomian (2) równa się iloczynowi:

\[<br />
(8) \qquad  \frac{1}{a} (ax + by + d- \sqrt{W})(ax + by + d + \sqrt{W}),.<br />
\]

Rozważmy z kolei przypadek, gdy w danym wielomianie (1) współczynnik $ c \ne 0 $. Rozumowanie analogiczne do poprzedniego prowadzi do wniosku, że dany wielomian jest wtedy i tylko wtedy iloczynem czynników stopnia pierwszego, gdy jego współczynniki spełniają warunki:

\[ (4) \qquad  b^2 - ac \geq 0 \]
\[ \nr{5a} e^2 - cf \geq 0 \]
\[ (7) \qquad  ae^2 + b^2f + cd^2 - acf - 2bde = 0. \]

Gdy warunki (4), (5a) i (7) są spełnione, wielomian (2) równa się iloczynowi

\[<br />
(9) \qquad  \frac{1}{c} (bx + cy + e - \sqrt{W}) (bx + cy + e + \sqrt{W}),<br />
\]

gdzie

\[<br />
W = \left( \sqrt{b^2 - ac} \cdot x + \frac{be - cd}{\sqrt{b^2 - ac}} \right)^2 ,\textrm{ gdy } b^2 - ac \ne 0,<br />
\]

natomiast

\[<br />
W = e^2 - cf, \textrm{ gdy }  b^2 - ac = 0.<br />
\]

Zauważmy, że gdy $ a \ne 0 $, $ c \ne 0 $, układ warunków (4), (5), (7) jest równoważny układowi (4), (5a), (7), współczynniki rozkładów (8) i (9) są proporcjonalne.

Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy $ a = 0 $ i $ c = 0 $; wówczas $ b \ne 0 $, gdyż funkcja (1) jest stopnia drugiego. Jeżeli jest ona iloczynem czynników stopnia pierwszego, to istnieją takie liczby $ \alpha $ i $ \beta $, że dla każdego $ x $ zachodzi równość

\[<br />
2bxy + 2dx + 2ey + f = 2b (x + \alpha) (y + \beta).<br />
\]

Porównując współczynniki odpowiednich wyrazów obu stron tej równości otrzymujemy

\[<br />
b\beta = d, \     b \alpha = e, \     2b \alpha \beta = f.<br />
\]

Stąd

\[<br />
(10) \qquad  2de = bf.<br />
\]

Równość (10) jest więe warunkiem koniecznym istnienia żądanego rozkładu danego wielomianu. Jest to jednocześnie warunek dostateczny, gdy bowiem jest spełniony, wtedy

\[<br />
2bxy + 2dx + 2ey + f = 2b \left(x + \frac{e}{b} \right) \left( y + \frac{d}{b} \right).<br />
\]

Zauważmy, że gdy $ a = c = 0 $, $ b \ne 0 $, wtedy warunek (10) jest równoważny warunkowi (7).

Wynik powyższej dyskusji możemy sformułować, jak następuje.

Wielomian $ ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f $ zmiennych $ x $ i $ y $ o współczynnikach rzeczywistych jest wtedy i tylko wtedy iloczynem dwóch wielomianów stopnia pierwszego tychże zmiennych o współczynnikach rzeczywistych, gdy

\[<br />
1. \quad ae^2 + b^2f + cd^2 - acf - 2bde = 0<br />
\]
\[<br />
2. \quad a \ne 0,\ b^2 - ac \geq 0,\ d^2 - af \geq 0 \textrm{ lub } c \ne 0,\ b^2 - ac \geq 0,\ e^2 - cf \geq 0 \textrm{ lub } a = c = 0, b \ne 0.<br />
\]

Uwaga. W dziedzinie liczb zespolonych zachodzi twierdzenie: Wielomian $ ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f $ zmiennych $ x $ i $ y $ jest wtedy i tylko wtedy iloczynem dwóch wielomianów stopnia pierwszego tychże zmiennych, gdy

\[<br />
1. \quad ae^2 + b^2f + cd^2 - acf - 2bde = 0<br />
\]
\[<br />
2. \quad a^2 + b^2 + c^2 \ne 0.<br />
\]

Dowód tego twierdzenia łatwo przeprowadzić, wzorując się na rozumowaniu podanym wyżej.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź