XIII OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że cztery odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami ciężkości ścian przeciwległych mają punkt wspólny.

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę dwa z wymienionych w zadaniu odcinków. Niech np. $ S $ będzie środkiem ciężkości ściany $ ABC $, a $ T $ - środkiem ciężkości ściany $ ABD $ czworościanu $ ABCD $ (rys. 26).

Punkt $ S $ leży na środkowej $ CM $ trójkąta $ ABC $, a punkt $ T $ na środkowej $ DM $ trójkąta $ ABD $. Odcinki $ DS $ i $ CT $ leżą w trójkącie $ CMD $, więc przecinają się w pewnym punkcie $ O $. Ponieważ $ MS = \frac{1}{3} MC $, a $ MT = \frac{1}{3} MD $, więc trójkąty $ SMT $ i $ CMD $ są jednokładne względem punktu $ M $ w stosunku $ \frac{1}{3}  $, wobec czego $ ST \parallel CD $ i $ ST = \frac{1}{3} CD $. Stąd wynika, że trójkąty $ OST $ i $ ODC $ są jednokładne względem punktu $ O $ w stosunku $ \frac{1}{3}  $. Zatem $ OS = \frac{1}{3} OD $, tzn. odcinek $ CT $ przecina odcinek $ SD $ w takim punkcie $ O $, który dzieli odcinek $ SD $ w stosunku $ 1 \colon 3 $.

W powyższym rozumowaniu odcinek $ CT $ można zastąpić odcinkiem łączącym punkt $ A $ ze środkiem ciężkości trójkąta $ BCD $ lub odcinkiem łączącym punkt $ B $ ze środkiem ciężkości trójkąta $ ACD $. Punkt $ O $ jest zatem punktem wspólnym wszystkich czterech rozważanych odcinków.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź