XIII OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli boki $ a $, $ b $, $ c $ trójkąta spełniają nierówność

\[<br />
a < b < c<br />
\]

to dwusieczne $ d_a $, $ d_b $, $ d_c $ kątów przeciwległych spełniają nierówność

\[<br />
d_a > d_b > d_c.<br />
\]

Rozwiązanie

Zadanie możemy rozwiązać, obliczając dwusieczne kątów trójkąta $ ABC $ w zależności od jego boków i kątów. Zauważmy najpierw, że odcinki $ BD $ i $ DC $, na jakie dwusieczna $ AD $ dzieli $ BC $ (rys. 27) są proporcjonalne do boków $ AB $ i $ AC $:

\[<br />
\frac{BD}{BC-BD} = \frac{AB}{AC},<br />
\]

skąd

\[<br />
BD = \frac{BC \cdot AB}{AC + AB}= \frac{ac}{b+c}.<br />
\]

Stosując twierdzenie sinusów do trójkąta $ ABD $, otrzymujemy

\[<br />
\frac{AD}{BD} = \frac{\sin B}{\sin \frac{A}{2}}, \textrm{ zatem } AD = d_a = \frac{ac}{b+c} \cdot \frac{\sin B}{\sin \frac{A}{2}},<br />
\]

a ponieważ $ a \sin B = b \sin A = 2b \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} $, więc ostatecznie

\[<br />
d_a = \frac{2bc \cos \frac{A}{2}}{b+c}.<br />
\]

Analogicznie

\[<br />
d_b = \frac{2ac \cos \frac{B}{2}}{a+c}.<br />
\]

Stąd

\[<br />
\frac{d_a}{d_b} = \frac{ab+bc}{ab+ac} \frac{\cos \frac{A}{2}}{\cos \frac{B}{2}}.<br />
\]

Jeżeli $ a < b $, to $ ab + bc> ab + ac $, $ \measuredangle \frac{A}{2} < \measuredangle \frac{B}{2} $, $ \cos \frac{A}{2} > \cos \frac{B}{2} $, zatem z powyższego wzoru wynika, że

\[<br />
d_a > d_b.<br />
\]

Analogicznie gdy $ b < c $, to $ d_b > d_c $.

Zatem z nierówności $ a < b < c $ wynika nierówność $ d_a > d_b > d_c $ c. n. d.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź