XIII OM - II - Zadanie 6

Znaleźć liczbę trzycyfrową o tej własności, że liczba przedstawiona tymi cyframi i w tej samej kolejności, ale przy podstawie numeracji różnej niż $ 10 $, jest dwa razy większa od liczby danej.

Rozwiązanie

Jeżeli $ x $, $ y $, $ z $ oznaczają kolejne cyfry poszukiwanej liczby, a $ c $ - nową podstawę numeracji, to

\[<br />
2 (100 x + 10y + z) = c^2x + cy + z.<br />
\]

Równanie to możemy zastąpić równaniem

\[<br />
(1) \qquad  (200 - c^2) x + (20 - c) y + z = 0.<br />
\]

Zadanie polega na rozwiązaniu równania (1) w liczbach całkowitych $ x $, $ y $, $ z $, $ c $, spełniających warunki $ 1 \leq x \leq 9 $, $ 0 \leq y \leq 9 $, $ 0\leq z \leq 9 $, $ c > 0 $.

Udowodnimy najpierw, że jedyną możliwą wartością $ c $ jest $ 15 $. Istotnie, gdy $ x $, $ y $, $ z $ spełniają wymienione wyżej warunki, a $ 0 < c \leq 14 $, wtedy

\[<br />
(200 - c^2) x + (20 - c) y + z \geq 4x + 6y + z \geq 4,<br />
\]

gdy zaś $ c > 16 $, wtedy

\[<br />
(200 - c^2)x + (20 - c)y + z \leq - 56x + 4y + z \leq - 56 + 36 + 9 = - 11.<br />
\]

Podstawiając w równanie (1) $ c = 15 $, otrzymujemy równanie

\[<br />
(2) \qquad  - 25x + 5y + z = 0.<br />
\]

Jeżeli liczby całkowite $ x $, $ y $, $ z $ spełniają równanie (2), to $ z $ jest podzielne przez wspólny czynnik $ 5 $ pierwszych dwóch wyrazów, a ponieważ $ 0 \leq z \leq 9 $, więc istnieją tylko dwie możliwości

a) $ z = 0 $; z równania (2) otrzymujemy

\[<br />
-5x + y = 0,<br />
\]

skąd jest widoczne, że $ x $ i $ y $ mogą mieć tylko wartości $ x = 1 $, $ y = 5 $, co daje dla liczby poszukiwanej wartość $ 150 $. Liczba ta spełnia istotnie warunek zadania, gdyż przy podstawie numeracji $ 15 $ przedstawia ona liczbę $ 15^2 + 5 \cdot 15 = 300 = 2 \cdot 150 $.

b) $ z = 5 $; dla wyznaczenia $ x $ i $ y $ otrzymujemy według (2) równanie:

\[<br />
- 5x + y + 1 = 0,<br />
\]

skąd widać, że $ x < 3 $, gdyż dla $ x \geq 3 $ jest $ -5x + y + 1 \leq -15 + 9 + 1 = -5 $. Gdy $ x = 1 $, wtedy $ y = 4 $, a gdy $ x = 2 $, mamy $ y = 9 $; odpowiednimi wartościami liczby poszukiwanej są $ 145 $ i $ 295 $. Obie te liczby czynią zadość warunkowi zadania, gdyż

\[<br />
15^2 + 4 \cdot 15 + 5 = 290 = 2 \cdot 145,<br />
\]
\[<br />
2 \cdot 15^2 + 9 \cdot 15 + 5 = 590 = 2 \cdot 295.<br />
\]

Zadanie ma zatem $ 3 $ rozwiązania, są nimi liczby $ 145 $, $ 150 $, $ 295 $. Odpowiednią podstawą numeracji jest dla każdej z nich $ 15 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź