XIII OM - III - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczby $ a_1, a_2,\ldots, a_n $ ($ n $ - liczba naturalna $ \geq 2 $) tworzą postęp arytmetyczny, a żadna z nich nie jest zerem, to

\[<br />
(1) \qquad  \frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + \ldots + \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \frac{n-1}{a_1a_n}.<br />
\]

Rozwiązanie

Jeżeli różnica postępu $ d $ równa się zeru, to $ a_1 = a_2 =<br />
\ldots = a_n $ i wzor (1) wyraża tożsamość $ \frac{n-1}{a_1^2} = \frac{n-1}{a_1^2} $.

Jeżeli $ d \ne 0 $, to dla dowolnego naturalnego $ k < n $

\[<br />
\frac{a_ka_{k+1}} = \frac{1}{d} \cdot \frac{a_{k+1} - a_k}{a_ka_{k+1}} =<br />
\frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right).<br />
\]

Zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + & \ldots + \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \\<br />
& = \frac{1}{d} \left[<br />
\left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{2}} \right)+<br />
\left( \frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_{3}} \right)+<br />
\ldots+<br />
\left( \frac{1}{a_{n-1}} - \frac{1}{a_{n}} \right)<br />
\right]= \\<br />
& = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{n}} \right) =<br />
\frac{a_n - a_1}{d \cdot a_1 \cdot a_n} = \frac{(n-1)d}{d \cdot a_1a_n} =<br />
\frac{n-1}{a_1a_n}.<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź