XIII OM - III - Zadanie 2

Wewnątrz danego czworokąta wypukłego znaleźć taki punkt, żeby odcinki łączące ten punkt ze środkami boków czworokąta dzieliły czworokąt na cztery części o równych polach.

Rozwiązanie

Pole czworokąta wypukłego $ ABCD $ równa się polu trójkąta $ B'CD $, gdzie $ B' $ jest punktem przecięcia prostej $ DA $ z równoległą do przekątnej $ AC $ poprowadzoną z punktu $ B $. Niech $ K $ będzie środkiem odcinka $ DB' $ (rys. 32), $ P $ i $ Q $ środkami boków $ CD $ i $ DA $, a $ O $ punktem poszukiwanym. Pole trójkąta $ KPD $ równa się $ \frac{1}{4} $ pola trójkąta $ B'CD $, tzn. $ \frac{1}{4} $ pola czworoboku $ ABCD $, a więc równa się polu czworokąta $ QOPD $. Stąd wynika, że pole trójkąta $ KPQ $ równa się polu trójkąta $ OPQ $, ponieważ zaś te trójkąty mają wspólny bok $ PQ $, a wierzchołki ich leżą po tej samej stronie prostej $ PQ $, więc prosta $ KO $ jest równoległa do prostej $ PQ $, zatem również do $ AC $.

Jednym miejscem geometrycznym punktu $ O $ jest więc prosta poprowadzona przez punkt $ K $ równolegle do $ AC $. Analogicznie znajdujemy drugie miejsce geometryczne punktu $ O $: jest nim prosta równoległa do $ BD $ i przechodząca przez środek $ L $ takiego odcinka $ AC' $ prostej $ AD $, że $ CC' \parallel BD $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź