XIII OM - III - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli $ n $ jest liczbą naturalną większą od $ 2 $, to

\[<br />
(1) \qquad  \sqrt[n + 1]{n+1} < \sqrt[n]{n}.<br />
\]

Rozwiązanie

Podnosząc obie strony nierówności (1) do potęgi $ n (n +1) $ otrzymujemy nierówność równoważną

\[<br />
(n + 1)^n < n^{n+1},<br />
\]

którą z kolei zastąpimy nierównością równoważną $ \left( \frac{n+1}{n} \right)^n < n $, czyli nierównością

\[<br />
(2) \qquad  \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n < n.<br />
\]

Dowód nierówności (2) dla każdego naturalnego $ n $ większego niż $ 2 $, łatwo przeprowadzić metodą indukcji.

a) gdy $ n = 3 $, nierówność (2) jest prawdziwa, gdyż $ \left(1 + \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{64}{27} < 3 $.

b) jeżeli dla pewnego $ n $ jest $ \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n < n $, to

\[<br />
\begin{split}<br />
\left(1 + \frac{1}{n+1} \right. & \left. \right)^{n+1} =<br />
\left(1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n} \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)<\\<br />
& < \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)<<br />
n \left(1 + \frac{1}{n+1} \right) = n + \frac{n}{n+1} < n+1.<br />
\end{split}<br />
\]

Z przesłanek a) i b) wynika prawdziwość nierówności (2), zatem również nierówności (1), dla każdego naturalnego $ n > 2 $.

Uwaga. Łatwo uzyskać nierówność znacznie mocniejszą niż (2); dowiedziemy mianowicie, że dla każdego naturalnego $ n $ jest

\[<br />
\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} < 3.<br />
\]

Według dwumianu Newtona

\[<br />
\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \binom{n}{2} \cdot \frac{1}{n^2} + \ldots + \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} + \ldots + \binom{n}{n} \frac{1}{n^2}.<br />
\]

Otóż

\[<br />
\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k} \cdot \frac{1}{n^k} =<br />
\frac{1}{k!} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \ldots \left( 1 - \frac{k-1}{n} \right) < \frac{1}{k!}.<br />
\]

Zatem

\[<br />
\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n < 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots +\frac{1}{n!} < 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{2^n} = 1+ \left( 2 - \frac{1}{2^n} \right) < 3.<br />
\]

Można dowieść, że gdy $ n $ wzrasta, wtedy wartość $ \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n $ również wzrasta. Ciąg liczb $ \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n $, gdy $ n = 1, 2, 3, \ldots $ jest więc ciągiem rosnącym, którego każdy wyraz jest mniejszy od $ 3 $. Według jednego z podstawowych twierdzeń analizy matematycznej ciąg taki ma granicę, tj. istnieje liczba, od której $ \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n $ różni się dowolnie mało, o ile tylko $ n $ jest dostatecznie wielkie. Granicą ciągu $ \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n $ jest pewna liczba niewymierna, która gra dużą rolę w matematyce; oznacza się ją literą $ e $. Wartością przybliżoną liczby $ e $ jest $ 2,71828\ldots $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź