XIII OM - III - Zadanie 6

Dane są trzy proste $ a $, $ b $, $ c $ parami skośne. Gzy można zbudować taki równoległościan, którego krawędzie leżą na prostych $ a $, $ b $, $ c $?

Rozwiązanie

Rozwiązanie zadania oprzemy na następującym twierdzeniu:

Jeżeli $ a $ i $ b $ są prostymi skośnymi to: a) istnieje para płaszczyzn równoległych, z których jedna zawiera prostą $ a $, a druga prostą $ b $ b) taka para płaszczyzn jest tylko jedna.

Dowód: a) Przez dowolnie obrany punkt $ A $ prostej $ a $ prowadzimy prostą $ b' $ równoległą do $ b $ i podobnie przez dowolny punkt $ B $ prostej $ b $ prowadzimy prostą $ a' $ równoległą do $ a $. Płaszczyzna $ \alpha $ prostych $ a $ i $ b' $ i płaszczyzna $ \beta $ prostych $ a' $ i $ b $ (różna od $ \alpha $) są równoległe, gdyż dwie przecinające się proste jednej z tych płaszczyzn są odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się prostych drugiej z nich.

b) Jeżeli płaszczyzny $ \alpha $ i $ \alpha ' $ przechodzą przez prostą $ a $, płaszczyzny $ \beta $ i $ \beta' $ przez prostą $ b $, przy czym $ \alpha \parallel \beta $ i $ \alpha' \parallel \beta' $, to płaszczyzny $ \alpha $ i $ \alpha' $ muszą się pokrywać. Istotnie, gdyby $ \alpha $ i $ \alpha' $ nie pokrywały się, to przecinałyby się wzdłuż prostej $ a $; ponieważ zaś $ \alpha $ i $ \alpha' $ są równoległe do prostej $ b $ jako leżącej na płaszczyznach $ \beta $ i $ \beta' $, więc prosta $ a $ musiałaby być równoległa do prostej $ b $ wbrew założeniu, że proste $ a $ i $ b $ są skośne. Zatem płaszczyzny $ \alpha $ i $ \alpha' $ i tak samo płaszczyzny $ \beta $ i $ \beta' $ pokrywają się.

Zauważmy teraz, że przez każdą z dwóch skośnych krawędzi równoległościanu przechodzą dwie jego ściany i że z tych czterech ścian, które są wszystkie różne, dwie są równoległe. Istotnie, równoległościan ma $ 6 $ ścian parami równoległych, więc wśród czterech jego różnych ścian muszą któreś dwie należeć do jednej z tych par.

Jeżeli zatem dane są dwie proste skośne $ a $ i $ b $, na których leżą dwie krawędzie równoległościanu, to według poprzedniego twierdzenia proste $ a $ i $ b $ wyznaczają jednoznacznie płaszczyzny dwóch ścian przeciwległych równoległościanu.

Trzy proste $ a $, $ b $, $ c $ parami skośne wyznaczają jednoznacznie $ 3 $ pary płaszczyzn: $ (\alpha_1, \alpha_2) $, $ (\beta_, \beta_2) $, $ (y_1, y_2) $ przechodzących odpowiednio przez proste $ a $, $ b $, $ c $ i takich, że $ \alpha_1 \parallel \beta_1 $, $ \alpha_2 \parallel \gamma_1 $, $ \beta_2 \parallel \gamma_2 $. Możliwe są przy tym dwa przypadki:

1) Płaszczyzny jednej z par płaszczyzn równoległych $ \alpha_1 \parallel \beta_1 $, $ \alpha_2 \parallel \gamma_1 $, $ \beta_2 \parallel \gamma_2 $ są równoległe do płaszczyzn innej pary (pokrywanie się plaszczyzn traktujemy jako przypadek szczególny równoległości), np. $ \alpha_1 \parallel \beta_1 \parallel \alpha_2 \parallel \gamma_1 $, wtedy $ \alpha_1 $ i $ \alpha_2 $, mające prostą wspólną, pokrywają się; tak samo pokrywać się muszą $ \beta_1 $ i $ \beta_2 $ oraz $ \gamma_1 $ i $ \gamma_2 $, gdyż są to dwie pary płaszczyzn przechodzących odpowiednio przez proste $ b $ i $ c $, przy czym płaszczyzny jednej pary są równoległe do płaszczyzn drugiej pary.

W rozważanym przypadku proste $ a $, $ b $, $ c $ leżą zatem na $ 3 $ płaszczyznach wzajemnie równoległych $ \alpha_1 $, $ \beta_1 $, $ \gamma_1 $. Równoległościan, którego $ 3 $ krawędzie leżałyby na prostych $ a $, $ b $, $ c $ nie istnieje, gdyż wszystkie jego ściany musiałyby leżeć na trzech płaszczyznach $ \alpha_1 $, $ \beta_1 $, $ \gamma_1 $, co jest niemożliwe.

2) Płaszczyzny każdej z par płaszczyzn równoległych $ \alpha_1; \beta_1) $, $ (\alpha_2, \gamma_1) $, $ (\beta_1, \gamma_2) $ przecinają płaszczyzny obu innych par. Każda płaszczyzna przecina $ 4 $ z pozostałych, wobec czego mamy $ 12 $ prostych przecięcia, wśród których znajdują się proste $ a $, $ b $, $ c $. Przez te $ 6 $ płaszczyzn wyznaczony jest w przestrzeni żądany równoległościan. Mianowicie płaszczyzny równoległe $ \alpha_1 $ i $ \beta_1 $, wyznaczają warstwę przestrzeni zawartą między nimi, płaszczyzny $ \alpha_2 $ i $ \gamma_1 $ wycinają z tej warstwy słup o $ 4 $ ścianach, wreszcie płaszczyzny $ \beta_2 $ i $ \gamma_2 $ wycinają z owego słupa równoległościan.

Odpowiedź na postawione pytanie brzmi zatem: Jeżeli dane są trzy proste $ a $, $ b $, $ c $ parami skośne, to równoległościan, którego $ 3 $ krawędzie leżą na prostych $ a $, $ b $, $ c $ można zbudować wtedy i tylko wtedy, gdy proste $ a $, $ b $, $ c $ nie leżą na $ 3 $ płaszczyznach wzajemnie równoległych. Równoległościan taki jest tylko jeden.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź