XII OM - I - Zadanie 1

Narysowano $ k $ prostych równoległych i przecięto je $ n $ prostymi równoległymi. Ile powstało równoległoboków?

Rozwiązanie

Każdy równoległobok wyznacza (po przedłużeniu boków) jedną parę $ (a, b) $ spośród danych $ k $ prostych równoległych i jedną parę $ (c, d) $ spośród $ n $ prostych równoległych; odwrotnie, każde dwie takie pary $ (a, b) $ i $ (c, d) $ prostych równoległych wyznaczają jeden równoległobok figury. Wobec tego ha danej figurze jest tyle równoległoboków, ile jest różnych czwórek $ [(a, b), (c, d)] $.

Otóż z $ k $ prostych można utworzyć $ \frac{1}{2} k (k - 1) $ różnych par $ (a, b) $. Istotnie, każdą z danych $ k $ prostych można złączyć w parę z każdą z $ k - 1 $ pozostałych prostych, co daje $ k (k - 1) $ par, wśród których każda z żądanych par występuje dwukrotnie, raz jako $ (a, b) $ i drugi raz jako $ (b, a) $. Podobnie z $ n $ danych prostych można utworzyć $ \frac{1}{2}n(n-1) $ różnych par $ (c, d) $. Ilość różnych czwórek $ [(a, b), (c, d)] $ wynosi zatem

\[<br />
\frac{1}{2}k(k-1)\cdot \frac{1}{2}n(n-1).<br />
\]

Gdy np. $ k = 3 $, $ n = 4 $, mamy na figurze $ 18 $ równoległoboków, co ilustruje rys. 1.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź