XII OM - I - Zadanie 3

Na płaszczyźnie dany jest okrąg $ K $ i punkt $ A $. Wykreślić taki okrąg $ L $ przechodzący przez punkt $ A $, żeby soczewka będąca wspólną częścią obu kół miała daną średnicę $ a $ i daną grubość $ b $.

Rozwiązanie

Ponieważ przy obrocie okręgu $ L $ dokoła środka $ O $ danego kręgu $ K $ wielkość soczewki wyznaczonej przez okręgi $ K $ i $ L $ nie ulega zmianie, więc zadanie rozwiążemy, gdy narysujemy dowolny okrąg wyznaczający z danym okręgiem soczewkę o średnicy $ a $ i grubości $ b $, a następnie obrócimy ten okrąg dokoła punktu $ O $ w ten sposób, żeby obrócony okrąg przechodził przez punkt $ A $.

Konstrukcja jest wobec tego następująca. W danym okręgu (rys. 2) prowadzimy dowolną cięciwę $ MN $ o długości $ a $. Ze środka $ O $ danego okręgu prowadzimy prostopadłą do prostej $ MN $. Od punktu przecięcia $ Q $ tej prostopadłej z danym okręgiem odmierzamy na półprostej $ QO $ odcinek $ QP = b $. Prowadzimy symetralną odcinka $ MP $ do przecięcia z prostą $ PQ $ w punkcie $ S $. Jeżeli punkt $ P $ znajduje się wewnątrz danego koła i leży po przeciwnej stronie prostej $ MN $ niż punkt $ Q $, to koło o środku $ S $ i promieniu $ SP = r $ ma z danym kołem część wspólną o żądanych wymiarach. Środek $ X $ poszukiwanego okręgu znajdziemy w przecięciu okręgu $ A (r) $ o środku $ A $ i promieniu $ r $ z okręgiem $ O(\varrho) $ o środku $ O $ i promieniu $ \varrho = OS = R + r - b $.
Konstrukcja ta jest wykonalna, jeżeli 1° $ a \leq 2R $ (warunek istnienia cięciwy $ MN $), 2° $ QT < b < 2R $, gdzie $ T $ jest środkiem $ MN $ (warunek żeby punkt $ P $ leżał wewnątrz okręgu $ K $ na przedłużeniu $ QT $), 3° $ |R - b| \leq O A \leq R + 2r - b $ (warunek istnienia punktu wspólnego okręgów $ A (r) $ i $ O (\varrho) $).

Zbadamy, ile rozwiązań może mieć zadanie. Zauważmy, że punkt $ Q $ może leżeć bądź z jednej, bądź z drugiej strony prostej $ MN $; w jednym przypadku $ QT = R - \sqrt{R^2-a^2} $, w drugim $ QT = R + \sqrt{R^2-a^2} $. Zakładając, że powyższe warunki 1°, 2° i 3° są spełnione, mamy następujące możliwości.

  • [I.] $ R - \sqrt{R^2-a^2} < b \leq R + \sqrt{R^2-a^2} $; wtedy istnieje tylko jeden punkt P spełniający warunek 2° i może zajść jeden z przypadków:
    • [1)] $ O A = |R - b| $, zadanie ma jedno rozwiązanie
    • [2)] $ O A = R+2r-b $, zadanie ma jedno rozwiązanie
    • [3)] $ |R - b| < OA < R + 2r - b $, zadanie ma $ 2 $ rozwiązania.
  • [II.] $ R + \sqrt{R^2-a^2} < b $; wtedy istnieją dwa położenia punktu $ P $, przy których warunek 2° jest spełniony. Istnieją wówczas możliwości:
    • [1)] $ O A = |R - b|=b-R $, zadanie ma $ 2 $ rozwiązania
    • [2)] $ O A = R+2r-b $, zadanie ma $ 2 $ rozwiązania
    • [3)] $ R - b < OA < R + 2r - b $, zadanie ma $ 4 $ rozwiązania.

Zwróćmy jeszcze uwagę na przypadek graniczny, gdy $ b = 2R $. Wówczas punkt $ P $ leży na danym okręgu, a punkt $ S $ pokrywa się z punktem $ O $, wobec czego $ r = B $, a warunek 3° przybiera postać $ OA = B $. Konstrukcja prowadzi wówczas do okręgu pokrywającego się z danym okręgiem; możemy go traktować jako rozwiązanie graniczne zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź