XII OM - I - Zadanie 5

Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

\[<br />
(1) \qquad y^2 - 1 = 2^x.<br />
\]

Rozwiązanie

Jeżeli para liczb całkowitych $ (x, y) $ spełnia równanie (1), to $ x > 0 $ (bo przy całkowitym $ y $ liczba $ y^2 - 1 $ jest całkowita i różna od $ 1 $); jednocześnie para $ (x, - y) $ spełnia to równanie. Zadanie sprowadza się więc do rozwiązania równania (1) w liczbach naturalnych. Napiszemy je w postaci

\[<br />
(y +1)(y-1) = 2^x<br />
\]

Jeśli liczby naturalne $ x $, $ y $ spełniają to równanie, to $ y + 1 $ i $ y - 1 $ są naturalnymi czynnikami liczby $ 2^x $, więc

\[<br />
y + 1 = 2^k, \quad    y-1 = 2^l,<br />
\]

gdzie $ k $ i $ l $ są liczbami całkowitymi nieujemnymi i $ k > l $. Odejmując te równości otrzymujemy $ 2^k - 2^l = 2 $, czyli

\[<br />
2^l(2^{k-l}-1) = 2.<br />
\]

Ponieważ $ k - l > 0 $, więc $ 2^{k-l} - 1 $ jest liczbą nieparzystą i z równości poprzedniej wynika, że

\[<br />
2^l = 2, \quad     2^{k-l} -1 = 1<br />
\]

skąd otrzymujemy

\[<br />
l=1, \quad     k = 2.<br />
\]

Rozwiązaniami całkowitymi równania (1) są zatem pary $ (3, 3) $ i $ (3, -3) $.

Uwaga. Wynik powyższy uzupełnimy rozważając równanie

\[<br />
(2) \qquad y^2 - 1 = n^x,<br />
\]

gdzie $ n $ jest liczbą całkowitą większą od $ 2 $. Rozwiązanie równania (2) w liczbach całkowitych sprowadza się, jak rozwiązanie równania (1), do poszukiwania rozwiązań w liczbach naturalnych.

Zauważmy najpierw, że rozwiązanie $ (x, y) $, w którym $ x = 1 $ a $ y $ jest całkowite, istnieje tylko wtedy, gdy $ n $ ma postać $ k^2 -1 $, gdzie $ k $ jest liczbą całkowitą; wówczas $ y = k $ lub $ y = - k $. Wykażemy, że równanie (2) nie ma takich rozwiązań całkowitych, w których $ x > 1 $.

Wiemy z arytmetyki, że liczbę $ n $ możemy przedstawić w postaci

\[<br />
n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \ldots p_r^{k_r},<br />
\]

gdzie $ p_1, p_2, \ldots, p_r $ są liczbami pierwszymi, przy czym $ p_1 < p_2 <  \ldots < p_r $, a $ k_1, k_2, \ldots, k_r $ są liczbami naturalnymi". Pisząc równanie (2) w postaci

\[<br />
(y + 1) (y - 1) = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \ldots p_r^{k_r}<br />
\]

widzimy, że jeżeli równanie to spełniają liczby naturalne $ x > 1 $ i $ y $, wówczas

\[<br />
(y + 1) = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \ldots p_r^{\alpha_r}<br />
\]
\[<br />
(y - 1) = p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} \ldots p_r^{\beta_r}<br />
\]

gdzie $ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r $, $ x $ są liczbami całkowitymi nieujemnymi, przy czym $ \alpha_1 +\beta_1=k_1x, \alpha_2 +\beta_2=k_2x, \ldots, \alpha_r +\beta_r=k_rx $. Odejmując te równości otrzymujemy

\[<br />
(3) \qquad p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_r^{\alpha_r} - p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\ldots p_r^{\beta_r} = 2.<br />
\]

Udowodnimy, że taka równość nie może zachodzić. Rozróżnimy $ 2 $ przypadki.

a) $ p_1 > 2 $. Wówczas jedna z liczb $ \alpha_1 $, i $ \beta_1 $ musi być równa $ 0 $, gdyby bowiem było $ \alpha > 0 $, $ \beta_1 > 0 $, to lewa strona równości (3) byłaby podzielna przez $ p_1 $, gdy tymczasem prawa strona nie jest podzielna przez $ p_1 $ W takim razie każda z liczb $ \alpha_1 $ i $ \beta_1 $ jest wielokrotnością $ x $ i to samo dotyczy pozostałych wykładników $ \alpha_i $ i $ \beta_i $. Równość (3) ma zatem postać

\[<br />
(4) \qquad q^x-s^x = 2,<br />
\]

gdzie $ q $ i s są liczbami naturalnymi. Ponieważ $ x > 1 $, więc równość (4) możemy napisać w postaci

\[<br />
(5) \qquad (q - s) (q^{x-1} + q^{x-2}s + \ldots + s^{x-1}) = 2<br />
\]

Lecz $ s \geq 1 $, $ q > $ s, zatem $ q \leq 2 $, wobec czego
Równość (5), zatem również (3), jest więc niemożliwa.

b) $ p_1 = 2 $. Wówczas albo jedna z liczb $ \alpha_1 $, $ \beta_1 $ równa się zeru, albo obie są równe $ 1 $, pozostałe wykładniki $ \alpha_i $ i $ \beta_i $ są wielokrotnościami $ x $. W pierwszym przypadku niemożliwość równości (3) uzasadniamy tak samo, jak powyżej w a). W drugim przypadku możemy obie strony równości (3) podzielić przez $ p_1 = 2 $ i otrzymamy równość

\[<br />
(3) \qquad p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_r^{\alpha_r} - p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\ldots p_r^{\beta_r} = 2.<br />
\]

którą można napisać w postaci

\[<br />
\nr{4a} q^x - s^x = 1<br />
\]

gdzie $ x $, $ q $, i $ s $ są liczbami naturalnymi, przy czym $ x > 1 $. Równość (4a) jest jednak niemożliwa, co stwierdzamy tak samo jak wyżej przy równości (5).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź