XII OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli trzy liczby rzeczywiste $ a $, $ b $, $ c $, które nie są wszystkie równe zerw, spełniają warunki

\[<br />
(1) \qquad a + b + c = abc<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad a^2 = bc<br />
\]

to

\[<br />
a^2 \geq 3<br />
\]

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeżeli liczby $ a $, $ b $, $ c $ spełniają warunki (1) i (2) i któraś z nich równa się zeru, to na mocy (2) któraś z pozostałych też jest równa zeru, a wobec tego na mocy warunku (1) trzecia z tych liczb też równa jest zeru. Zatem warunek, że nie wszystkie $ 3 $ liczby $ a $, $ b $, $ c $ są równe zeru jest w naszym zadaniu równoznaczny z warunkiem, że żadna z tych liczb nie równa się zeru.
Zastępując w równości (1) $ bc $ przez $ a^2 $ napiszemy warunki (1) i (2) w postaci

\[<br />
\nr{1a} b + c = a^3 - a<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad bc = a^2<br />
\]

Z tych równości widzimy, że $ b $ i $ c $ są rzeczywistymi pierwiastkami równania kwadratowego.

\[<br />
(3) \qquad x^2 - (a^3 - a) x + a^2 = 0<br />
\]

o współczynnikach rzeczywistych. Wyróżnik tego równania jest zatem nieujemny, tj.:

\[<br />
(a^3 - a)^2 - 4a^2 \geq q,<br />
\]

czyli

\[<br />
a^2 (a^2 + 1) (a^2 - 3) \geq 0<br />
\]

Ponieważ pierwsze dwa czynniki po lewej stronie są dodatnie, więc trzeci czynnik musi być nieujemny, tzn.

\[<br />
a^2 \geq 3.<br />
\]

Uwaga. Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne: jeżeli liczba rzeczywista $ a $ spełnia warunek $ a^2 \geq 3 $, to istnieją liczby rzeczywiste spełniające warunki (1) i (2) i nie wszystkie równe zeru, gdyż wówczas $ a \neq 0 $, a wyróżnik równania (3) jest nieujemny, wobec czego istnieją liczby b i c spełniające warunki (1a) i (2), więc też (1) i (2).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź