XII OM - I - Zadanie 7

Dany jest wypukły wycinek kołowy $ AOB $ (O - środek koła). Poprowadzić taką styczną do łuku $ AB $, żeby jej odcinek zawarty w kącie $ AOB $ był podzielony punktem styczności w stosunku $ 1 : 3 $.

Rozwiązanie

Mech $ MN $ (rys. 6) będzie poszukiwanym odcinkiem, a $ P $ - jego punktem styczności z danym łukiem $ AB $. W trójkącie $ MON $ mamy dany stosunek odcinków $ MP : PN =1:3 $, na jakie wysokość $ OP $ dzieli podstawę $ MN $, oraz wielkość kąta $ MON $. Udowodnimy, że te dane określają kształt trójkąta $ MON $), tzn. że trójkąt $ M_1O_1N_1 $ (rys. 7) o wysokości $ O_1P_1 $ w którym $ M_1P_1 : P_1N_1 = MP : PN $ i $ \measuredangle M_1O_1N_1 = \measuredangle MON $, jest podobny do trójkąta $ MON $. Zbudujmy w tym celu przy podstawie $ M_1N_1 $ trójkąt $ M_1O_1'N_1 $ podobny do trójkąta $ MON $ po tej stronie prostej $ M_1N_1 $, po której leży punkt $ O'_1 $. Wierzchołek $ O'_1 $ leży na półprostej $ P_1O_1 $, gdyż w trójkącie $ M_1O'_1N_1 $ wysokość na bok $ M_1N_1 $ dzieli $ M_1N_1 $ w tym samym stosunku, co w podobnym doń trójkącie $ MON $. W takim razie punkt $ O_1' $ musi się pokrywać z punktem $ O_1 $. Gdyby bowiem punkt $ O_1' $ leżał wewnątrz odcinka $ P_1O_1 $ to $ \measuredangle  M_1O_1'N_1 $ byłby większy od $ \measuredangle M_1O_1N_1 $ gdyż kąty $ M_1O'_1P_1 $ i $ P_1O'_1N_1 $ byłyby wtedy większe odpowiednio od kątów $ M_1O_1P_1 $ i $ P_1O_1N_1 $ jako kąty zewnętrzne trójkątów $ M_1O_1O_1' $ i $ N_1O_1O_1' $. Podobnie, gdyby punkt $ O_1' $ leżał na przedłużeniu odcinka $ P_1O_1 $ to kąt $ M_1O_1'N $ byłby mniejszy od kąta $ M_1O_1N_1 $. Zatem istotnie trójkąt $ M_1O_1N_1 $ jest podobny do trójkąta $ MON $.

Zadanie sprowadza się więc do zbudowania trójkąta $ M_1O_1N_1 $.

Na prostej odmierzamy dowolnie kolejne odcinki $ M_1P_1 $ i $ P_1N_1  = 3 M_1P_1 $, następnie wykreślamy w punkcie $ P_1 $ prostopadłą do prostej $ M_1N_1 $ oraz budujemy łuk o cięciwie $ M_1N_1 $ mieszczący kąt równy kątowi $ AOB $; w przecięciu obu tych linii znajdujemy punkt $ O_1 $. Wreszcie odmierzamy przy ramieniu $ OA $ wewnątrz kąta $ AOB $ kąt równy kątowi $ M_1O_1P_1 $ lub kątowi $ N_1O_1P_1 $; drugie ramię tego kąta przetnie łuk $ AB $ w poszukiwanym punkcie $ P $. Zadanie ma zawsze dwa rozwiązania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź