XII OM - I - Zadanie 8

W okrąg wpisano dwa trójkąty foremne. Wierzchołki $ A $, $ B $, $ C $ jednego trójkąta następują po sobie na okręgu w tym samym kierunku, co wierzchołki $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ drugiego trójkąta. Proste $ AB $ i $ A_1B_1 $ przecinają się w punkcie $ P $, proste $ BC $ i $ B_1C_1 $ w punkcie $ M $, a proste $ CA $ i $ C_1A_1 $ w punkcie $ N $. Dowieść, że punkty $ M $, $ N $, $ P $ są wierzchołkami trójkąta foremnego.

Rozwiązanie

Obróćmy całą figurę (rys. 8) dokoła środka $ O $ danego okręgu o $ 120^\circ $. Punkty $ A $, $ B $, $ C $ przejdą odpowiednio na miejsca punktów $ B $, $ C $, $ A $, a punkty $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ — na miejsca punktów $ B_1 $, $ C_1 $, $ A_1 $. Punkt przecięcia prostych $ AB $ i $ A_1B_1 $, tj. punkt $ P $, przejdzie na miejsce punktu przecięcia prostych $ BC $ i $ B_1C_1 $, tj. na punkt $ M $. Podobnie punkt $ M $ przejdzie na miejsce punktu $ N $, a punkt $ N $ - na miejsce punktu $ P $. Wobec tego odcinki $ MN $, $ NP $, $ PM $ zajmą odpowiednio miejsca odcinków $ NP $, $ PM $, $ MN $, zatem $ MN  = NP = PM $, tzn. trójkąt $ MNP $ jest foremny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź