XII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że gdy $ n $ jest liczbą naturalną, to liczba

\[<br />
2^{4^n} + 5<br />
\]

jest podzielna przez $ 21 $.

Rozwiązanie

Zastosujemy metodę indukcji zupełnej.

Gdy $ n = 1 $, twierdzenie jest prawdziwe, gdyż $ 2^4 + 5 = 21 $. Przypuśćmy, że jest ono prawdziwe dla pewnej wartości $ n $, tzn. że $ 2^{4^n} + 5 = 21k $, gdzie $ k $ jest pewną liczbą całkowitą. Wówczas $ 2^{4^n} = 21 k - 5 $, wobec czego

\[<br />
\begin{split}<br />
2^{4^{n+1}}&=2^{4^{n}\cdot4}=(21k-5)^4=\\<br />
&=(21k)^4-4(21k)^3 \cdot 5 + 6(21 k)^2 5^2 -4(21 k) 5^3 + 5^4 = 21 \cdot m + 5^4,<br />
\end{split}<br />
\]

gdzie $ m $ jest pewną liczbą całkowitą, zatem

\[<br />
2^{4^{n+1}} + 5 = 21  m + 5^4 + 5 = 21 m + 630.<br />
\]

Liczba $ 2^{4^{n+1}}+ 5 $ jest więc podzielna przez $ 21 $. Stąd wynika przez indukcję, że liczba $ 2^{4^n} $ jest podzielna przez $ 21 $ dla każdego naturalnego $ n $.

Uwaga. Rozwiązanie zadania można by ułożyć prościej, posługując się pojęciem kongruencji; proponujemy to jako ćwiczenie. Wystarczą tu wiadomości o kongruencjach podane w książce Zadania z Olimpiad Matematycznych, tom I, wydanie 2, Warszawa 1960. Dalsze wiadomości można znaleźć w podręczniku uniwersyteckim W. Sierpiński - Arytmetyka teoretyczna, wydanie 2, Warszawa 1959.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź