XII OM - I - Zadanie 11

Dany jest trójkąt równoramienny $ ABC $ ($ AB = AC $). Zbudować taki trójkąt równoramienny $ A_1B_1C_1 $ ($ A_1B_1 = A_1C_1 $), żeby trójkąty $ AB_1C_1 $, $ A_1BC_1 $ i $ A_1B_1C $ były: a) położone na zewnątrz trójkąta $ A_1B_1C_1 $, b) równoramienne o podstawach $ B_1C_1 $ $ C_1A_1 $ i $ A_1B_1 $ c) podobne do trójkąta $ A_1B_1C_1 $.

Rozwiązanie

W zadaniach konstrukcyjnych często bywa dogodnie stosować metodę zagadnienia odwrotnego, polegającą na tym, że zamiast budować figurę $ G $, gdy dana jest figura $ F $, budujemy figurę $ F $, gdy dana jest figura $ G $, a następnie rozważając położenie wzajemne figur $ F $ i $ G $ wnioskujemy, jak wykonać konstrukcję w kierunku odwrotnym. W naszym zadaniu figurą $ F $ jest trójkąt $ ABC $, a figurą $ G $ - trójkąt $ A_1B_1C_1 $.

Narysujmy trójkąt równoramienny $ A_1B_1C_1 $ (rys. 9), a następnie na zewnątrz tego trójkąta trójkąty równoramienne $ AB_1C_1 $ $ A_1BC_1 $ i $ A_1B_1C $ o podstawach $ B_1C_1 $, $ C_1A_1 $, $ A_1B_1 $ podobne do trójkąta $ A_1B_1C_1 $. Otrzymana figura jest symetryczna względem prostej $ AA_1 $, więc trójkąt $ ABC $ jest równoramienny ($ AB = AC $).

Zauważmy, że punkty $ B $, $ A_1 $, i $ C $ leżą na jednej prostej, gdyż $ 3 $ kąty ostre, jakie powstały przy wierzchołku $ A_1 $ są odpowiednio równe kątom trójkąta $ A_1B_1C_1 $, więc ich suma wynosi $ 180^\circ $. Prosta $ BC $ jest prostopadła do osi symetrii figury, tj. równoległa do prostej $ B_1C_1 $ gdyż jest symetryczna do samej siebie. Trójkąt $ AB_1C_1 $ jest przystający do trójkąta $ A_1B_1C_1 $, gdyż jest do niego podobny i ma z nim wspólną podstawę Prosta $ B_1C_1 $ przechodzi więc przez środek wysokości $ AA_1 $ trójkąta $ ABC $, odległości $ B_1C $ i $ C_1B $ są równe połowie $ BC $.

Stąd wysnuwamy rozwiązanie zadania (rys. 10), Wyznaczamy środek $ A_1 $ boku $ BC $ danego trójkąta ABC, rysujemy symetralną m odcinka $ AA_1 $ oraz zataczamy z punktów $ B $ i $ C $ jako środków okręgi o promieniu równym $ BA_1 $. Jeżeli pierwszy okrąg przecina prostą $ m $ w punkcie $ C_1 $; to drugi przecina ją w punkcie $ B_1 $ symetrycznym do $ C_1 $ i trójkąt $ A_1B_1C_1 $ spełnia warunki zadania, co jest widoczne z konstrukcji. Rozwiązanie istnieje, jeżeli wykreślone okręgi mają punkty wspólne z prostą to, tzn. gdy $ h < a $, gdzie $ a = BC $, $ h = AA_1 $. Jeżeli $ h < a $, zadanie ma $ 2 $ rozwiązania; jedno jest trójkątem ostrokątnym, drugie - rozwartokątnym; jeżeli $ h = a $, jest tylko jedno rozwiązanie, które jest trójkątem prostokątnym.

Gdy dany trójkąt jest równoboczny, jedno rozwiązanie jest utworzone przez środki boków danego trójkąta, drugie jest trójkątem o kącie $ 120^\circ $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź