XII OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że żadna liczba postaci $ 2^n $, gdzie $ n $ jest liczbą naturalną, nie jest sumą dwóch lub więcej kolejnych liczb naturalnych.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że twierdzenie wypowiedziane w tekście zadania nie jest prawdziwe i że zachodzi równość

\[<br />
k + (k + 1) + \ldots + (k + r) = 2^n,<br />
\]

w której $ k $, $ r $, $ n $ oznaczają liczby naturalne. Według wzoru na sumę wyrazów postępu arytmetycznego, otrzymujemy stąd

\[<br />
(1) \qquad (2k + r) (r+ 1) = 2^{n+1}.<br />
\]

Każda z liczb naturalnych $ 2k + r $ i $ r + 1 $ jest większa od $ 1 $. Różnica tych liczb $ (2k + r) - (r + 1) = 2k - 1 $ jest liczbą nieparzystą, więc jedna z nich jest nieparzysta. Lewa strona równości (1) jest wobec tego podzielna przez liczbę nieparzystą większą od jedności, gdy tymczasem prawa jej strona jako potęga liczby $ 2 $ nie ma takiego dzielnika. Równość (1) jest więc niemożliwa.

Uwaga. Każda liczba całkowita jest sumą kolejnych liczb całkowitych, na przykład :

\[<br />
4 = (- 3) + (- 2) + (- 1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź