XII OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że dla dowolnych kątów $ x $, $ y $, $ z $ zachodzi równość

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{split}<br />
&1 - \cos^2 x - \cos^2 y - \cos^2 z + 2 \cos x \cos y \cos z=\\<br />
&\qquad =4 \sin \frac{x+y+z}{2} \sin \frac{x+y-z}{2}<br />
  \sin \frac{x-y+z}{2} \sin\frac{-x-y+z}{2}.<br />
\end{split}<br />
\]

Rozwiązanie

Przekształcamy prawą stronę równości (1) stosując najpierw wzór $ 2 \sin \alpha \sin \beta = \cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta) $, a następnie wzory na $ \cos (\alpha + \beta) $ i $ \cos (\alpha - \beta) $:

\[<br />
\begin{split}<br />
& 4 \sin \frac{x+y+z}{2} \sin \frac{x+y-z}{2}<br />
  \sin \frac{x-y+z}{2} \sin\frac{-x-y+z}{2}= \\<br />
&\qquad\begin{split}<br />
& = [\cos z - \cos (x + y)] [\cos (x - y) - \cos z] = \cos z \cos (x - y) -\\<br />
& - \cos^2 z - \cos (x + y) \cdot \cos (x - y) + \cos (x + y) \cos z = \\ & = \cos x \cos y \cos z + \sin x \sin y \cos z - \cos^2 z - \cos^2 x \cos^2 y + \sin^2 x \sin^2 y + \\<br />
& + \cos x \cos y \cos z - \sin x \sin y \cos z = 2 \cos x \cos y \cos z - \\<br />
& - \cos^2 z - \cos^2 x \cos^2 y    \sin^2 x \sin^2 y.<br />
\end{split}<br />
\end{split}<br />
\]

Po podstawieniu w ostatnim wyrażeniu $ \sin^2 x \sin^2 y = (1 - \cos^2 x) (1 - \cos^2 y) $, po otwarciu nawiasów i redukcji otrzymujemy wyrażenie równe lewej stronie równości (1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź