XII OM - II - Zadanie 4

Znaleźć cztery ostatnie cyfry liczby $ 5^{5555} $.

Rozwiązanie

\spos{1} Obliczymy kilka kolejnych potęg liczby $ 5 $ poczynając od $ 5^4 $:

\[<br />
5^4 = 625,\ 5^5 = 3125,\ 5^6 = 15625,\ 5^7 = 78125,\ 5^8 = 390625 \ldots<br />
\]

Okazało się, że $ 5^8 $ ma te same cztery ostatnie cyfry co $ 5^4 $, wobec czego to samo dotyczy liczb $ 5^9 $ i $ 5^5 $ itd., tzn. poczynając od $ 5^4 $ dwie potęgi liczby $ 5 $, których wykładniki różnią się o wielokrotność $ 4 $, mają te same cztery końcowe cyfry. Liczba $ 5^{5555} = 5^{4\cdot 1388+3} $ ma zatem na końcu te same $ 4 $ cyfry co liczba $ 5^7 $, tj. cyfry $ 8125 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź