XII OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $ a $, $ b $, $ c $ spełniają nierówności

\[ (1) \qquad a + b + c> 0, \]
\[ (2) \qquad ab + bc + ca > 0, \]
\[ (3) \qquad abc > 0, \]

to $ a > 0 $, $ b > 0 $, $ c > 0 $.

Rozwiązanie

Z nierówności (1) i (2) można wywnioskować, że co najmniej dwie spośród liczb $ a $, $ b $, $ c $ są dodatnie. Albowiem z nierówności (1) wynika najpierw, że co najmniej jedna z tych liczb jest dodatnia, niech na przykład $ c > 0 $. Otóż dla dowolnych $ a $ i $ b $

\[<br />
(a + b)^2 \geq 2ab<br />
\]

a z nierówności (2) wynika, że

\[<br />
ab > - (a + b) c,<br />
\]

wobec czego

\[<br />
(a + b)^2 > - 2(a+b) c;<br />
\]

przenosząc wyrazy na jedną stronę otrzymujemy stąd

\[<br />
(a + b) (a + b + 2c) > 0,<br />
\]

ponieważ $ c > 0 $, więc $ a + b + 2c = (a + b + c) + c > 0 $, zatem z powyższej nierówności wynika, że

\[<br />
a + b > 0.<br />
\]

W takim razie przynajmniej jedna z liczb $ a $ i $ b $, na przykład $ b $, jest dodatnia.

Jeżeli zaś dwie z liczb $ a $, $ b $, $ c $ są dodatnie, to na mocy nierówności (3) trzecia z nich musi być również dodatnia.

Uwaga. Twierdzenie udowodnione wyżej jest przypadkiem szczególnym twierdzenia: Jeżeli dla pewnych wartości $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ wszystkie podstawowe funkcje symetryczne (patrz zadanie 10) mają wartości dodatnie, to wszystkie wartości $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ są dodatnie.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź