XII OM - II - Zadanie 6

W płaszczyźnie trójkąta ostrokątnego $ ABC $ przesuwa się taśma o szerokości $ d < AB $ i brzegach prostopadłych do $ AB $. Przy jakim położeniu taśmy zakryje ona największą część trójkąta?

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że część trójkąta zakryta taśmą nie może być największa przy takim położeniu taśmy, że jeden z jej brzegów, na przykład lewy, znajduje się poza trójkątem, gdyż wówczas przy dostatecznie małym przesunięciu taśmy w prawo część zakryta zwiększa się. Maximum zakrytego pola nie zachodzi również i wtedy, gdy oba brzegi taśmy mają punkty wspólne z trójkątem, ale odcinki brzegów leżące w trójkącie nie są równe, na przykład lewy jest krótszy od prawego (lub jest punktem) (rys. 16). Jeżeli bowiem przesuniemy taśmę w prawo o tak mały odcinek, żeby odcinek lewego brzegu pozostał krótszy od odcinka prawego brzegu, wówczas część trójkąta nakryta taśmą zmniejszy się o trapez $ T_1 $, ale zwiększy się o trapez $ T_2 $, który ma pole większe niż $ T_1 $ gdyż ma tę samą wysokość co $ T_1 $ a dłuższe podstawy.

Wobec tego maximum pola części zakrytej może mieć miejsce tylko wtedy, gdy leżące w trójkącie odcinki $ MP $ i $ NQ $ obu brzegów są równe (rys. 17).

Takie położenie taśmy łatwo wyznaczyć obliczając na przykład $ AM = x $ w zależności od elementów $ c $, $ \alpha $, $ \beta $ trójkąta $ ABC $ i od szerokości taśmy. Mianowicie $ MP = x \tg \alpha $, $ NQ = y \tg \beta $, gdzie $ y = NB = AB - AM - MN = c - x - d $. Z warunku $ MP = NQ $ otrzymujemy po łatwym rachunku

\[<br />
(1) \qquad x = \frac{(c-d) \tg \beta}{\tg \alpha + \tg \beta}.<br />
\]

Możemy również znaleźć żądane położenie taśmy konstrukcyjnie, np. odmierzając $ AR = d $ i prowadząc $ RQ $ równolegle do $ AC $.

Powyższe rozumowanie nie stanowi jeszcze rozwiązania zadania. Dowiedliśmy mianowicie tylko tego, że jeżeli istnieje takie położenie taśmy, przy którym zakrywa ona największą część trójkąta, to jest nim znalezione położenie $ MNPQ $ (rys. 17), a to wcale nie znaczy, że zachodzi wtedy rzeczywiście żądane maximum, gdyż maximum mogłoby w ogóle nie być. Aby przeprowadzić potrzebny dowód, weźmy pod uwagę dowolne inne położenie taśmy, np. położenie $ M'N'P'Q' $, w którym $ M'P' < N'Q' $. W porównaniu z położeniem $ MNPQ $ pole części zakrytej zwiększyło się o pole trapezu $ MPP'M' $ o podstawach $ MP $ i $ M'P' $ (może być również $ M'P' = 0 $) i wysokości $ MM' $, a zmniejszyło się co najmniej o pole trapezu o podstawach $ NQ = MP $ i $ N'Q' > M'P' $ i wysokości $ NN' = MM' $. Widzimy, że w rezultacie pole części zakrytej zmniejszyło się; zatem w położeniu $ MNPQ $ ma ono istotnie wartość największą, czego należało dowieść.

Uwaga 1. Przeprowadzone wyżej rozumowanie składa się z $ 2 $ części. Najpierw udowodniliśmy, że zakryta część trójkąta może być największa tylko wtedy, gdy odcinki $ MP $ i $ NQ $ brzegów taśmy są równe, a następnie wykazaliśmy, że w takim położeniu taśmy maximum istotnie zachodzi. Właściwe rozwiązanie zadania stanowi część druga, pierwsza jest, ściśle biorąc, niepotrzebna. Miała ona jednak dla nas to znaczenie, że naprowadziła nas na rozwiązanie, które trudno byłoby przewidzieć z góry; odegrała zatem podobną rolę jak analiza w zadaniu konstrukcyjnym.

Inaczej byłoby, gdybyśmy wiedzieli, że takie położenie taśmy, które daje poszukiwane maximum, na pewno istnieje. Wtedy część pierwsza naszego rozumowania stanowiłaby już rozwiązanie zadania, wobec czego część druga byłaby zbyteczna. Podobną sytuację mamy również w innych zadaniach dotyczących maximum lub minimum i powstaje pytanie, czy nie ma jakiejś ogólnej zasady, z której wynikałoby istnienie maximum lub minimum w poszczególnych przypadkach. Otóż zasada taka istnieje; jest nią ważne twierdzenie analizy matematycznej, że funkcja ciągła w przedziale zamkniętym ma w tym przedziale zarówno maximum, jak i minimum. W naszym zadaniu pole zakrytej części trójkąta jest funkcją $ f (x) $ odległości $ x $ taśmy od punktu $ A $, którą wystarczy rozważać w przedziale zamkniętym (tzn. liczonym razem z końcami) $ 0 \leq x \leq c $. Funkcja ta jest ciągła, tzn. gdy przesuniemy taśmę o dostatecznie krótki odcinek, pole $ f (x) $ zmieni się tak mało, jak tylko zechcemy. Wobec tego dla pewnej wartości $ x $ z przedziału $ [0, c] $ funkcja $ f(x) $ ma wartość największą, a w takim razie jest to wartość określona wzorem (1).

Uwaga 2. Zastanówmy się, czy założenie, że trójkąt $ ABC $ jest ostrokątny, było potrzebne przy rozumowaniu, które przeprowadziliśmy. Łatwo stwierdzimy, że pozostaje ono słuszne, gdy kąt $ C $ jest prosty lub rozwarty. Stosuje się ono również do przypadku, gdy kąt $ A $ lub kąt $ B $ jest rozwarty (rys. 18), z tą jedynie różnicą, że wzór (1) należy zastąpić przez inny. Przy oznaczeniach wskazanych na rys. 18.

\[<br />
MP = KP - KM = KB \tg \beta + KA \tg \alpha = (c + x) \tg \beta + x \tg \alpha<br />
\]
\[<br />
NQ = NB \tg \beta = (KB - KN) \tg \beta = (c + x - d) \tg \beta.<br />
\]

Maximum pola zakrytego taśmą zachodzi w przypadku, gdy $ MP = NQ $, co daje równanie

\[<br />
(c + x) \tg \beta + x \tg \alpha = (c + x - d) \tg \beta,<br />
\]

skąd

\[<br />
(2) \qquad x = - \frac{d \tg \beta}{\tg \alpha}.<br />
\]

Ze wzoru (2) widzimy, że $ x $ nie zależy od długości $ c $ podstawy trójkąta, a zależy tylko od jego kątów. Łatwo to wytłumaczyć: jeżeli przesuniemy prostą $ BC $ równolegle, oba odcinki $ MP $ i $ NQ $ zmienią się o taką samą długość, więc pozostaną równe, wobec czego maximum pola zakrytej części nowego trójkąta nadal zachodzi przy tym samym położeniu taśmy. Położenie to możemy wyznaczyć konstrukcyjnie podobnie jak poprzednio.

Gdy kąt $ A $ lub kąt $ B $ jest prosty, argumentacja poprzednia zawodzi; w tym przypadku nie ma takiego położenia taśmy, że odcinki $ MP $ i $ NQ $ jej brzegów są równe. Jasne jest, że taśma zakrywa wtedy największą część trójkąta, gdy jeden jej brzeg zawiera bok trójkąta.

Zadanie możemy uogólnić zakładając, że przesuwana taśma jest nachylona do boku $ AB $ pod dowolnym danym kątem. Rozumowanie pozostaje to samo, poszukiwane maximum ma również miejsce wtedy, gdy odcinki brzegów taśmy, leżące w trójkącie, są równe, z wyjątkiem przypadku, gdy taśma jest równoległa do jednego z boków trójkąta. W takim przypadku maximum zachodzi wtedy, gdy brzeg taśmy zawiera ów bok.

Można wreszcie postawić pytanie, jak położyć taśmę o szerokości mniejszej niż najmniejsza wysokość trójkąta, aby pokryć największą część trójkąta. Nietrudne to zadanie proponujemy jako ćwiczenie.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź