XII OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że każda liczba naturalna, która nie jest całkowitą potęgą liczby $ 2 $, jest sumą dwóch lub więcej kolejnych liczb naturalnych.

Rozwiązanie

Niech $ N $ będzie liczbą naturalną, która nie jest całkowitą potęgą dwóch, wobec czego

\[<br />
N = 2^n (2m + 1),<br />
\]

gdzie $ m $ i $ n $ są liczbami całkowitymi, przy czym $ m \geq 1 $, $ n \geq 0 $.

Mamy dowieść, że istnieją takie liczby całkowite $ a $ i $ k $, że

\[<br />
(1) \qquad a \geq 1,\      k \geq 2<br />
\]

oraz

\[<br />
a + (a + 1) + \ldots (a + k- 1) = N,<br />
\]

czyli

\[<br />
(2) \qquad (2a + k - 1) k = 2^{n+1}(2m + 1).<br />
\]

Warunek (2) jest spełniony, jeżeli $ 2a + k - 1 = 2^{n+1} $, $ k = 2m + 1 $, tzn. jeżeli

\[<br />
(3) \qquad a = 2^n - m, \     k = 2m + 1.<br />
\]

Rozwiązanie $ (a, k) $ równania (2), określone wzorami (3), czyni zadość warunkowi (1) tylko wtedy, gdy $ a > 0 $, tj. gdy

\[<br />
(4) \qquad 2^n > m.<br />
\]

Warunek (2) jest spełniony również wtedy, gdy $ 2a + k - 1 = 2m + 1 $, $ k = 2^{n+1} $, tzn. gdy

\[<br />
(5) \qquad a = m + 1 - 2^n,\      k = 2^{n+1}.<br />
\]

Liczby $ a $ i $ k $ określone wzorami (5) są całkowite; warunek (1) spełniają one tylko wtedy, gdy

\[<br />
(6) \qquad 2^n \leq m .<br />
\]

Ponieważ jeden z warunków (4) i (6) zawsze jest spełniony, więc równanie (2) ma zawsze rozwiązanie całkowite $ (a, k) $ czyniące zadość nierównościom (1).

Gdy na przykład $ N = 30 $, to otrzymamy rozwiązanie $ a = 6 $, $ k= 4 $ i $ N = 6 + 7 + 8 + 9 $, gdy $ N = 225 $, to $ a = 112 $, $ k = 2 $, $ N = 112 + 113 $.

Uwaga. Zastanowimy się nad tym, czy wyżej znaleziony rozkład liczby naturalnej N na sumę kolejnych liczb naturalnych jest jedynym takim rozkładem.

Przypuśćmy, jak poprzednio, że liczby całkowite a i k spełniają warunki (1) i (2). Możliwe są tylko dwa następujące przypadki:

A) liczba $ k $ jest parzysta, wobec czego liczba $ 2a + k - 1 $ jest nieparzysta.

Z równania (2) wynika, że $ k $ jest podzielne przez $ 2n+1 $, zatem

\[<br />
(7) \qquad k = 2^{n+1} (2p + 1)<br />
\]
\[<br />
(8) \qquad 2a + k-l = 2q+1,\textrm{ zatem } a = q+1 - 2^n(2p + 1)<br />
\]

oraz

\[<br />
(9) \qquad 2m + 1 = (2p + 1) (2q + 1)<br />
\]

gdzie $ p $ i $ q $ są liczbami całkowitymi nieujemnymi. Ponieważ $ a \geq 1 $, więc z równości (8) wynika, że

\[<br />
(10) \qquad  q \geq 2^n (2p + 1)<br />
\]

Odwrotnie, jeżeli liczba $ 2m + 1 $ ma postać (9), gdzie $ p $ i $ q $ są liczbami całkowitymi, przy czym $ p \geq 0 $, a $ q $ spełnia warunek (10), to liczby $ a $ i $ k $ obliczone według wzorów (7) i (8) określają rozkład liczby $ N $ na sumę kolejnych liczb naturalnych. Jeżeli przy tym $ p = 0 $, jest to ten sam rozkład, który znaleźliśmy poprzednio [wzory (5)].

B) Liczba $ k $ jest nieparzysta, zatem $ 2a + k - 1 $ jest podzielne przez $ 2n+1 $. Wówczas

\[<br />
(11) \qquad k = 2q + 1<br />
\]
\[<br />
(12) \qquad 2a + k - 1 = 2^{n+1} (2p + 1), \textrm{ zatem } a = 2^n (2p + 1)-q,<br />
\]

skąd, jak poprzednio,

\[<br />
2m + 1 = (2p + 1) (2q + 1),<br />
\]

przy czym liczby całkowite $ p $ i $ q $ czynią zadość nierównościom

\[<br />
(13) \qquad q>0,  \quad  q>2n(2p+ 1),<br />
\]

gdyż $ k > 1 $, $ a > 0 $.

Odwrotnie, jeżeli liczba $ 2m + 1 $ ma postać (9), gdzie $ p $ i $ q $ są liczbami całkowitymi spełniającymi warunki (13), to liczby $ a $ i $ k $ obliczone według wzorów (11) i (12) określają żądany rozkład liczby $ N $. Jeżeli przy tym $ p = 0 $, jest to rozkład znaleziony poprzednio [wzory (3)].

Uzyskaliśmy wynik następujący. Jeżeli liczba $ 2m + 1 $ jest liczbą pierwszą, to istnieje tylko jeden rozkład liczby $ N $ na sumę kolejnych liczb naturalnych. Jest to znaleziony poprzednio rozkład określony wzorami (3), bądź wzorami (5), zależnie od tego, czy zachodzi nierówność (4) czy też nierówność (6). Jeżeli zaś $ 2m + 1 $ jest liczbą złożoną, to oprócz tego są jeszcze inne rozkłady. Mianowicie każdemu rozkładowi liczby $ 2m + 1 $ na $ 2 $ czynniki nierówne i większe od $ 1 $ odpowiadają dwa rozkłady liczby $ N $. Łatwo wykazać (co proponujemy czytelnikowi), że albo jeden z tych rozkładów odpowiada przypadkowi A), a drugi - przypadkowi B), albo też oba należą do przypadku B). Wreszcie, gdy istnieje rozkład liczby $ 2m + 1 $ na dwa czynniki równe, tzn. gdy jest ona kwadratem liczby całkowitej, to poza już wymienionymi rozkładami istnieje jeszcze jeden rozkład należący do przypadku B).
Na przykład:

\[<br />
30=6 + 7 + 8 + 9 = 4+ 5+ 6 + 7 + 8  = 9 + 10 + 11,<br />
\]
\[<br />
\begin{split}<br />
225 &= 112 + 113 = 74 + 75 + 76 = 43 + 44  + 45 + 46 + 47 =\\<br />
&= 35 + 36 + 37 + 38 + 39 + 40 =\\<br />
&= 21 + 22 + + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 =\\<br />
&= 18 + 19 + \ldots + 26 + 27 =  8 + 9 + \ldots + 21 + 22.<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź