XII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $ a + b = 1 $, to

\[<br />
a^5 + b^5 \geq \frac{1}{16}<br />
\]

Rozwiązanie

\spos{I} Jeżeli $ a = \frac{1}{2} + d $, to $ b = \frac{1}{2} - d $

\[<br />
a^5 = \left(\frac{1}{2} + d \right)^2 = \frac{1}{2^5} + 5 \frac{d}{2^4} + 10 \frac{d^2}{2^3} + 10 \frac{d^3}{2^2} + 5 \frac{d^4}{2} + d^5,<br />
\]
\[<br />
b^5 = \left(\frac{1}{2} - d \right)^2 = \frac{1}{2^5} - 5 \frac{d}{2^4} + 10 \frac{d^2}{2^3} - 10 \frac{d^3}{2^2} - 5 \frac{d^4}{2} + d^5<br />
\]

zatem

\[<br />
a^5+b^5 =\frac{2}{2^5} +  2 \cdot 10 \frac{d^2}{2^3} +  2 \cdot 5 \frac{d^4}{2}.<br />
\]

Ponieważ $ d^2 \geq 0 $ i $ d^4 \geq 0 $, otrzymamy stąd

\[<br />
a^5+b^5 \geq \frac{2}{2^5}.<br />
\]

Uwaga. Udowodnione wyżej twierdzenie jest przypadkiem szczególnym twierdzenia: Jeżeli $ a + b = 1 $, to

\[<br />
(1) \qquad a^n+b^n \geq \frac{1}{2^{n-1}} (n \textrm{ - liczba  naturalna})<br />
\]

Dowód tego twierdzenia łatwo poprowadzić powyższym sposobem I. Można go również poprowadzić wzorując się na sposobie II i stosując następujące rozumowanie indukcyjne. Gdy $ n = 1 $, twierdzenie (1) jest prawdziwe. Przypuśćmy, że jest ono prawdziwe dla każdej wartości $ n $ mniejszej, od pewnej liczby naturalnej $ m $. Dowiedziemy, że jest ono prawdziwe i wtedy, gdy $ n $ równa się $ m $. Jeżeli $ m $ jest parzyste, np. $ m = 2k $, to $ k < m $, zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
a^m+b^m&=a^{2k}+b^{2k}=(a^k+b^k)^2- 2(ab)^k \geq \left( \frac{1}{2^{k-1}} \right)^2 - \frac{2}{2^{2k}}=\\<br />
&=\frac{1}{2^{2k-1}}=\frac{1}{2^{m-1}}<br />
\end{split}<br />
\]

Jeżeli zaś $ m $ jest nieparzyste, np. $ m = 2k + 1 $, to $ m = k + (k + 1) $, gdzie $ k <m $ i $ k+1<m $, zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
a^m + b^m &= a^{2k+1} + b^{2k+1} = (a^k + b^k) (a^{k-1}+b^{k+1}) - (ab)^k (a + b) \geq\\<br />
&\geq \frac{1}{2^{k-1}} \cdot \frac{1}{2^k} -\frac{1}{2^{2k}}=\frac{1}{2^{2k}}=\frac{1}{2^{m-1}}.<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź