XII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli przekrój czworościanu płaszczyzną jest równoległobokiem, to połowa jego obwodu zawiera się między długością najmniejszej a długością największej krawędzi tego czworościanu.

Rozwiązanie

Niech równoległobok $ MNPQ $ będzie przekrojem płaskim czworościanu $ ABCD $. Płaszczyzna $ MNPQ $ jest oczywiście różna od płaszczyzn ścian czworościanu i każdy bok równoległoboku leży na innej ścianie. Przypuśćmy, że boki równolegle $ MN $ i $ QP $ leżą na ścianach $ ABC $ i $ BCD $; są one wtedy równoległe do krawędzi $ BC $, według której ściany te graniczą ze sobą, a boki $ MQ $ i $ NP $ są równoległe do krawędzi $ AD $ (rys. 19).

Stosując twierdzenie Talesa do trójkątów $ AMN $ i $ ABC $ oraz do trójkątów $ BMQ $ i $ BAD $ otrzymujemy

\[<br />
\frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB} \textrm{ oraz }<br />
\frac{MQ}{AD} = \frac{MB}{AB}.<br />
\]

Stąd

\[<br />
\frac{MN}{BC} + \frac{MQ}{AD} = \frac{AM + MB}{AB} = 1.<br />
\]

Przypuśćmy, że $ BC \leq AD $; w takim razie z powyższej równości wynika, że

\[<br />
\frac{MN}{AD} + \frac{MQ}{AD} \leq 1,<br />
\textrm{ a }<br />
\frac{MN}{BC} + \frac{MQ}{BC} \geq 1,<br />
\]

zatem

\[<br />
BC \leq MN + MQ \leq AD.<br />
\]

Jeżeli $ a $ oznacza długość najmniejszej, a $ b $ - długość największej przekątnej czworościanu, to $ BC \geq a $, a $ AD \leq b $ i z nierówności powyższej wynika, że

\[<br />
a \leq MN + MQ \leq b,<br />
\]

czego należało dowieść.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź