XII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli każdy bok trójkąta jest mniejszy niż $ 1 $, to jego pole jest mniejsze niż $ \frac{\sqrt{3}}{4} $.

Rozwiązanie

W każdym trójkącie przynajmniej jeden kąt nie przewyższa $ 60^\circ $. Przypuśćmy, że w trójkącie $ ABC $ o bokach mniejszych od jedności jest $ \measuredangle C \leq 60^\circ $. Wówczas

\[<br />
\textrm{pole }ABC = \frac{1}{2} AC \cdot BC \sin \measuredangle C <<br />
\frac{1}{2} \sin 60^\circ =  \frac{\sqrt{3}}{4}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź