- LX OM
- LIX OM
- LVIII OM
- LVII OM
- LVI OM
- LV OM
- LIV OM
- LIII OM
- LII OM
- LI OM
- L OM
- XLIX OM
- XLVIII OM
- XLVIII OM - I etap
- XLVIII OM - I - Zadanie 1
- XLVIII OM - I - Zadanie 2
- XLVIII OM - I - Zadanie 3
- XLVIII OM - I - Zadanie 4
- XLVIII OM - I - Zadanie 5
- XLVIII OM - I - Zadanie 6
- XLVIII OM - I - Zadanie 7
- XLVIII OM - I - Zadanie 8
- XLVIII OM - I - Zadanie 9
- XLVIII OM - I - Zadanie 10
- XLVIII OM - I - Zadanie 11
- XLVIII OM - I - Zadanie 12
- XLVIII OM - II etap
- XLVIII OM - III etap
- XLVIII OM - I etap
- XLVII OM
- XLVI OM
- XLV OM
- XLIV OM
- XLIII OM
- XLII OM
- XLI OM
- XL OM
- XXXIX OM
- XXXVIII OM
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVIII OM - I - Zadanie 1
- XXXVIII OM - I - Zadanie 2
- XXXVIII OM - I - Zadanie 3
- XXXVIII OM - I - Zadanie 4
- XXXVIII OM - I - Zadanie 5
- XXXVIII OM - I - Zadanie 6
- XXXVIII OM - I - Zadanie 7
- XXXVIII OM - I - Zadanie 8
- XXXVIII OM - I - Zadanie 9
- XXXVIII OM - I - Zadanie 10
- XXXVIII OM - I - Zadanie 11
- XXXVIII OM - I - Zadanie 12
- XXXVIII OM - II etap
- XXXVIII OM - III etap
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVII OM
- XXXVII OM - I etap
- XXXVII OM - I - Zadanie 1
- XXXVII OM - I - Zadanie 2
- XXXVII OM - I - Zadanie 3
- XXXVII OM - I - Zadanie 4
- XXXVII OM - I - Zadanie 5
- XXXVII OM - I - Zadanie 6
- XXXVII OM - I - Zadanie 7
- XXXVII OM - I - Zadanie 8
- XXXVII OM - I - Zadanie 9
- XXXVII OM - I - Zadanie 10
- XXXVII OM - I - Zadanie 11
- XXXVII OM - I - Zadanie 12
- XXXVII OM - II etap
- XXXVII OM - III etap
- XXXVII OM - I etap
- XXXVI OM
- XXXV OM
- XXXIV OM
- XXXIII OM
- XXXIII OM - I etap
- XXXIII OM - I - Zadanie 1
- XXXIII OM - I - Zadanie 2
- XXXIII OM - I - Zadanie 3
- XXXIII OM - I - Zadanie 4
- XXXIII OM - I - Zadanie 5
- XXXIII OM - I - Zadanie 6
- XXXIII OM - I - Zadanie 7
- XXXIII OM - I - Zadanie 8
- XXXIII OM - I - Zadanie 9
- XXXIII OM - I - Zadanie 10
- XXXIII OM - I - Zadanie 11
- XXXIII OM - I - Zadanie 12
- XXXIII OM - II etap
- XXXIII OM - III etap
- XXXIII OM - I etap
- XXXII OM
- XXXI OM
- XXX OM
- XXIX OM
- XXVIII OM
- XXVII OM
- XXVI OM
- XXV OM
- XXIV OM
- XXIII OM
- XXII OM
- XXI OM
- XX OM
- XIX OM
- XVIII OM
- XVII OM
- XVI OM
- XV OM
- XIV OM
- XIII OM
- XII OM
- XI OM
- X OM
- IX OM
- VIII OM
- VII OM
- V OM
- VI OM
- IV OM
- III OM
- II OM
- I OM
- Skład komitetów Olimpiady
- Zawody stopnia I (przygotowawcze)
- Zadania z pierwszej olimpiady matematycznej
- I OM - B
- I OM - B - Zadanie 1
- I OM - B - Zadanie 2
- I OM - B - Zadanie 3
- I OM - B - Zadanie 4
- I OM - B - Zadanie 5
- I OM - B - Zadanie 6
- I OM - B - Zadanie 7
- I OM - B - Zadanie 8
- I OM - B - Zadanie 9
- I OM - B - Zadanie 10
- I OM - B - Zadanie 11
- I OM - B - Zadanie 12
- I OM - B - Zadanie 13
- I OM - B - Zadanie 14
- I OM - B - Zadanie 15
- I OM - B - Zadanie 16
- I OM - B - Zadanie 17
- I OM - B - Zadanie 18
- I OM - B - Zadanie 19
- I OM - B - Zadanie 20
- I OM - I etap
- I OM - II etap
- I OM - III etap
- I OM - B
XII OM - III - Zadanie 5
Cztery proste przecinające się w sześciu punktach tworzą cztery trójkąty. Dowieść, że okręgi opisane na tych trójkątach mają punkt wspólny.
Rozwiązanie
Cztery proste przecinające się w punktach tworzą figurę zwaną czworobokiem zupełnym (por. Zadania z Olimpiad Matematycznych, tom I, Warszawa 1960. Zadanie 79). Oznaczmy te punkty literami
,
,
,
,
,
(rys. 21) w taki sposób, że na danych prostych leżą odpowiednio trójki punktów
,
,
,
, przy czym punkt
leży wewnątrz odcinka
, punkt
- wewnątrz odcinka
, a punkt
jest wspólnym punktem wewnętrznym odcinków
i
.
Na tej figurze są trójkąty: ,
,
i
; niech
,
,
,
oznaczają odpowiednio okręgi opisane na tych trójkątach. Okrąg
przechodzi przez punkt
leżący wewnątrz okręgu
i przez punkt
leżący na zewnątrz tego okręgu. Zatem okręgi
i
przecinają się w
punktach; jednym z nich jest punkt
, więc drugi punkt przecięcia
leży po przeciwnej stronie cięciwy
. Według twierdzenia o kącie wpisanym
![]() |
zatem
![]() |
Ponieważ punkty i
leżą po tej samej stronie prostej
, więc z równości
wynika, że punkt
leży na okręgu
, okręgi
,
,
mają zatem punkt, wspólny
.
W taki sam sposób udowodnimy, że okręgi ,
,
mają punkt wspólny
. Punkty
i
są punktami wspólnymi okręgów
i
; żaden z nich nie może pokrywać się z punktem wspólnym
tychże okręgów, gdyż punkt
leży na zewnątrz okręgów
i
, więc
i
pokrywają się, tzn. okręgi
,
,
,
mają punkt wspólny.
Uwaga. Dowód powyższy wymaga uzupełnienia. Przyjęliśmy bowiem bez uzasadnienia, że punkty przecięcia prostych można zawsze oznaczyć w ten sposób, że na danych prostych leżą odpowiednio trójki
,
,
,
, przy czym punktami wewnętrznymi tych
trójek są punkty
,
,
i
. Fakt ten wysnuliśmy z obserwacji rysunku, co nie jest ścisłym dowodem matematycznym. Przeprowadzimy obecnie jego dowód nie posługując się rysunkiem.
Wśród danych punktów są
trójki punktów współliniowych tzn. leżących na jednej prostej), a w każdej trójce jeden z punktów leży między dwoma innymi. Zatem któryś z danych
punktów nie jest punktem wewnętrznym żadnej trójki, nazwijmy go
. Przez
przechodzą
spośród danych prostych; na jednej leżą dalsze
z danych punktów, które możemy oznaczyć literami
i
w ten sposób, żeby punkt
leżał pomiędzy punktami
i
; podobnie na drugiej prostej leżą
inne punkty, które tak oznaczymy literami
i
, że
leży między
i
. Szósty punkt oznaczymy literą
, przy czym mogą zajść
przypadki, które kolejno rozpatrzymy: 1)
jest punktem przecięcia prostych
i
; wówczas
leży między punktami
i
, gdyż prosta
przecina bok
trójkąta
w punkcie
, więc musi przeciąć bok
(Twierdzenie: Jeżeli prosta ma punkt wspólny z bokiem trójkąta, a nie przechodzi przez żaden wierzchołek trójkąta, to ma punkt wspólny z którymś z pozostałych boków trójkąta, jest podstawowym faktem geometrii przyjmowanym zwykle za pewnik zwany pewnikiem Pascha. Sformułował go w r. 1882 Moritz Pasch (1843-1930), matematyk niemiecki, profesor uniwersytetu w Giessen.); analogicznie punkt
leży między punktami
i
. Jeżeli punkty
,
,
,
,
,
nazwiemy odpowiednio
,
,
,
,
,
, otrzymamy żądane oznaczenia punktów. 2)
jest punktem przecięcia prostych
i
. Wówczas może zajść jeden z dwóch przypadków : a) Punkt
leży między punktami
i
; wówczas punkt
leży między punktami
i
, gdyż prosta
przechodzi przez punkt
boku
trójkąta
, więc musi przeciąć bok
. Poszukiwane oznaczenie otrzymamy wówczas nazywając punkty
,
,
,
,
,
odpowiednio
,
,
,
,
,
; b) punkt
leży między punktem
i
; wówczas punkt
leży między
i
, gdyż prosta
przechodząc przez punkt
boku
trójkąta
musi przejść przez jakiś punkt boku
. W tym przypadku punkty
,
,
,
,
,
nazywamy odpowiednio
,
,
,
,
,
i otrzymujemy żądane oznaczenia.
Komentarze
Dodaj nową odpowiedź