XII OM - III - Zadanie 5

Cztery proste przecinające się w sześciu punktach tworzą cztery trójkąty. Dowieść, że okręgi opisane na tych trójkątach mają punkt wspólny.

Rozwiązanie

Cztery proste przecinające się w $ 6 $ punktach tworzą figurę zwaną czworobokiem zupełnym (por. Zadania z Olimpiad Matematycznych, tom I, Warszawa 1960. Zadanie 79). Oznaczmy te punkty literami $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $ (rys. 21) w taki sposób, że na danych prostych leżą odpowiednio trójki punktów $ (A, B, C) $, $ (A, D, E) $, $ (C, F, D) $, $ (B, F, E) $, przy czym punkt $ B $ leży wewnątrz odcinka $ AC $, punkt $ D $ - wewnątrz odcinka $ AE $, a punkt $ F $ jest wspólnym punktem wewnętrznym odcinków $ CD $ i $ BE $.

Na tej figurze są trójkąty: $ ABE $, $ BCF $, $ ACD $ i $ DEF $; niech $ K_1 $, $ K_2 $, $ K_3 $, $ K_4 $ oznaczają odpowiednio okręgi opisane na tych trójkątach. Okrąg $ K_2 $ przechodzi przez punkt $ F $ leżący wewnątrz okręgu $ K_1 $ i przez punkt $ C $ leżący na zewnątrz tego okręgu. Zatem okręgi $ K_1 $ i $ K_2 $ przecinają się w $ 2 $ punktach; jednym z nich jest punkt $ B $, więc drugi punkt przecięcia $ M $ leży po przeciwnej stronie cięciwy $ FC $. Według twierdzenia o kącie wpisanym

\[<br />
\measuredangle AMB = \measuredangle AEB,\<br />
\measuredangle BMC = \measuredangle BFC,<br />
\]

zatem

\[<br />
\measuredangle AMC = \measuredangle AMB + \measuredangle MBC =<br />
\measuredangle AEB + \measuredangle BFC =<br />
\measuredangle AEB + \measuredangle DFE =<br />
\measuredangle ADC.<br />
\]

Ponieważ punkty $ D $ i $ M $ leżą po tej samej stronie prostej $ AC $, więc z równości $ \measuredangle AMC = \measuredangle ADC $ wynika, że punkt $ M $ leży na okręgu $ K_3 $, okręgi $ K_1 $, $ K_2 $, $ K_3 $ mają zatem punkt, wspólny $ M $.

W taki sam sposób udowodnimy, że okręgi $ K_1 $, $ K_3 $, $ K_4 $ mają punkt wspólny $ N $. Punkty $ M $ i $ N $ są punktami wspólnymi okręgów $ K_1 $ i $ K_3 $; żaden z nich nie może pokrywać się z punktem wspólnym $ A $ tychże okręgów, gdyż punkt $ A $ leży na zewnątrz okręgów $ K_2 $ i $ K_4 $, więc $ M $ i $ N $ pokrywają się, tzn. okręgi $ K_1 $, $ K_2 $, $ K_3 $, $ K_4 $ mają punkt wspólny.

Uwaga. Dowód powyższy wymaga uzupełnienia. Przyjęliśmy bowiem bez uzasadnienia, że punkty przecięcia $ 4 $ prostych można zawsze oznaczyć w ten sposób, że na danych prostych leżą odpowiednio trójki $ (A, B, C) $, $ (A, D, E) $, $ (C, F, D) $, $ (B, F, E) $, przy czym punktami wewnętrznymi tych $ 4 $ trójek są punkty $ B $, $ D $, $ F $ i $ F $. Fakt ten wysnuliśmy z obserwacji rysunku, co nie jest ścisłym dowodem matematycznym. Przeprowadzimy obecnie jego dowód nie posługując się rysunkiem.

Wśród danych $ 6 $ punktów są $ 4 $ trójki punktów współliniowych tzn. leżących na jednej prostej), a w każdej trójce jeden z punktów leży między dwoma innymi. Zatem któryś z danych $ 6 $ punktów nie jest punktem wewnętrznym żadnej trójki, nazwijmy go $ P_1 $. Przez $ P_1 $ przechodzą $ 2 $ spośród danych prostych; na jednej leżą dalsze $ 2 $ z danych punktów, które możemy oznaczyć literami $ P_2 $ i $ P_3 $ w ten sposób, żeby punkt $ P_2 $ leżał pomiędzy punktami $ P_1 $ i $ P_3 $; podobnie na drugiej prostej leżą $ 2 $ inne punkty, które tak oznaczymy literami $ P_4 $ i $ P_5 $, że $ P_4 $ leży między $ P_1 $ i $ P_5 $. Szósty punkt oznaczymy literą $ P_6 $, przy czym mogą zajść $ 2 $ przypadki, które kolejno rozpatrzymy: 1) $ P_6 $ jest punktem przecięcia prostych $ P_3P_4 $ i $ P_2P_5 $; wówczas $ P_6 $ leży między punktami $ P_3 $ i $ P_4 $, gdyż prosta $ P_2P_5 $ przecina bok $ P_1P_3 $ trójkąta $ P_1P_3P_4 $ w punkcie $ P_2 $, więc musi przeciąć bok $ P_3P_4 $ (Twierdzenie: Jeżeli prosta ma punkt wspólny z bokiem trójkąta, a nie przechodzi przez żaden wierzchołek trójkąta, to ma punkt wspólny z którymś z pozostałych boków trójkąta, jest podstawowym faktem geometrii przyjmowanym zwykle za pewnik zwany pewnikiem Pascha. Sformułował go w r. 1882 Moritz Pasch (1843-1930), matematyk niemiecki, profesor uniwersytetu w Giessen.); analogicznie punkt $ P_6 $ leży między punktami $ P_2 $ i $ P_5 $. Jeżeli punkty $ P_1 $, $ P_2 $, $ P_3 $, $ P_4 $, $ P_5 $, $ P_6 $ nazwiemy odpowiednio $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $, otrzymamy żądane oznaczenia punktów. 2) $ P_6 $ jest punktem przecięcia prostych $ P_2P_4 $ i $ P_3P_5 $. Wówczas może zajść jeden z dwóch przypadków : a) Punkt $ P_2 $ leży między punktami $ P_4 $ i $ P_6 $; wówczas punkt $ P_3 $ leży między punktami $ P_5 $ i $ P_6 $, gdyż prosta $ P_1P_3 $ przechodzi przez punkt $ P_2 $ boku $ P_4P_6 $ trójkąta $ P_4P_5P_6 $, więc musi przeciąć bok $ P_5P_6 $. Poszukiwane oznaczenie otrzymamy wówczas nazywając punkty $ P_1 $, $ P_2 $, $ P_3 $, $ P_4 $, $ P_5 $, $ P_6 $ odpowiednio $ C $, $ F $, $ D $, $ B $, $ A $, $ E $; b) punkt $ P_4 $ leży między punktem $ P_2 $ i $ P_6 $; wówczas punkt $ P_5 $ leży między $ P_3 $ i $ P_6 $, gdyż prosta $ P_1P_5 $ przechodząc przez punkt $ P_4 $ boku $ P_2P_6 $ trójkąta $ P_2P_3P_6 $ musi przejść przez jakiś punkt boku $ P_3P_6 $. W tym przypadku punkty $ P_1 $, $ P_2 $, $ P_3 $, $ P_4 $, $ P_5 $, $ P_6 $ nazywamy odpowiednio $ C $, $ B $, $ A $, $ F $, $ D $, $ E $ i otrzymujemy żądane oznaczenia.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź