XI OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać równanie

\[<br />
(1) \qquad \sqrt[n]{(x + 1)^2} + \sqrt[n]{(x - 1)^2} = 4 \sqrt[n]{x^2 - 1}.<br />
\]

Rozwiązanie

Wprowadzimy oznaczenia

\[<br />
\sqrt[n]{x + 1} = u,  \  \sqrt[n]{x-1} = v.<br />
\]

Wówczas $ x + 1 = u^n $, $ x - 1 = v^n $, skąd $ u^n - v^n = 2 $; równanie (1) przybiera postać $ u^2 + v^2 = 4uv $. Weźmy pod uwagę układ równań

\[<br />
\nr{\textrm{I}}<br />
\begin{array}{c}<br />
u^2 + v^2 = 4uv,\\<br />
u^n - v^n = 2.<br />
\end{array}<br />
\]

Jeżeli $ x $ jest liczbą spełniającą równanie (1), a przy tym $ x> 1 $ to $ u $ i $ v $ są liczbami dodatnimi spełniającymi układ równań (I). Odwrotnie, jeżeli liczby dodatnie $ u $ i $ v $ spełniają układ równań (I), to liczba $ x = u^n - 1 = v^n + 1 $ jest większa od $ 1 $ i spełnia równanie (1). Dodatnie rozwiązania układu równań (I) łatwo znajdziemy obliczając z pierwszego z tych równań stosunek $ \frac{u}{v} $:

\[<br />
\left( \frac{u}{v} \right)^2 - 4\left( \frac{u}{v} \right) + 1 = 0.<br />
\]

Biorąc pod uwagę, że gdy $ u > 0 $, $ v > 0 $, to według drugiego równania układu (I) musi być $ u > v $, otrzymujemy

\[<br />
\frac{u}{v} = 2 + \sqrt{3}.<br />
\]

Podstawienie do drugiego równania układu (I) daje $ v^n = \frac{2}{(2 + \sqrt{3})^n - 1} $ zatem

\[<br />
x = \frac{2}{(2 + \sqrt{3})^n - 1} + 1 =<br />
\frac{(2 + \sqrt{3})^n + 1}{(2 + \sqrt{3})^n - 1}<br />
\]

jest jedynym większym od $ 1 $ pierwiastkiem równania (1).

Aby znaleźć pozostałe pierwiastki równania (1), wystarczy zauważyć, że z uwagi na prawą stronę tego równania musi być $ x^2 \geq 1 $ i że jeśli $ x $ jest pierwiastkiem równania, to ma ono również pierwiastek $ - x $. Wobec tego równanie (1) ma jeszcze tylko jeden pierwiastek

\[<br />
x =<br />
- \frac{(2 + \sqrt{3})^n + 1}{(2 + \sqrt{3})^n - 1}<br />
  \frac{(2 - \sqrt{3})^n + 1}{(2 - \sqrt{3})^n - 1}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź