XI OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli suma $ a + b $ dwóch liczb całkowitych jest podzielna przez liczbę nieparzystą $ n $, to $ a^n + b^n $ jest podzielne przez $ n^2 $.

Czy to twierdzenie zachodzi dla parzystego $ n $?

Rozwiązanie

Wiadomo, że gdy $ n $ jest liczbą nieparzystą, to dwumian $ a^n + b^n $ jest podzielny przez dwumian $ a + b $, gdyż zachodzi równość

\[<br />
\begin{split}<br />
(1) \qquad a^n + b^n = & (a + b) (a^{n-1} - a^{n-2} b + a^{n-3} b^2 - \ldots +\\<br />
& + (- 1)^k a^{n-1-k} b^k + \ldots + b^{n-1}.<br />
\end{split}<br />
\]

Aby dowieść, że gdy $ a + b $ jest podzielne przez $ n $, to $ a^n + b^n $ jest podzielne przez $ n^2 $ wystarczy się przekonać, że liczba

\[<br />
(2) \qquad P (a, b) = a^{n-1} - a^{n-2} b + a^{n-3} b^2 - \ldots + (- 1)^k a^{n-1-k} b^k + \ldots + b^{n-1}<br />
\]

jest podzielna przez $ n $.

W tym celu potraktujmy wyrażenie $ P (a, b) $ jako wielomian zmiennej $ a $ i wyznaczmy resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian $ a + b $. Według znanego twierdzenia algebry reszta z dzielenia wielomianu $ W (x) $ przez dwumian $ x - \alpha $ równa się $ W (\alpha) $, tj. równa się wartości tego wielomianu dla $ x = \alpha $. Na mocy tego twierdzenia reszta z dzielenia wielomianu $ P (a, b) $ zmiennej $ a $ przez $ a + b $, równa się $ P (- b, b) $, tj. równa się wartości, którą otrzymamy podstawiając $ - b $ zamiast $ a $ do prawej strony równości (2). Otóż

\[<br />
\begin{split}<br />
 P (- b, b) &=<br />
(- b)^{n-1} - (- b)^{n-2} b + (- b)^{n-3} b^2 - \ldots + \\<br />
&\qquad+ (-1)^k (- b)^{n-1-k} b^k + \ldots + b^{n-1} =\\<br />
&= b^{n-1} + b^{n-1} + b^{n-1} + \ldots + b^{n-1} + \ldots + b^{n-1} = n \cdot b^{n-1}.<br />
\end{split}<br />
\]

Okazało się, że reszta z dzielenia wielomianu $ P(a,b) $ przez $ a+b $ jest podzielna przez $ n $. Gdy więc $ a + b $ jest podzielne przez $ n $, to również $ P (a, b) $ jest podzielne przez $ n $, wobec czego $ a^n + b^n $ jest podzielne przez $ n^2 $, c.n.d.

Dla parzystego $ n $ twierdzenie takie nie zachodzi, co stwierdzamy biorąc na przykład $ a=1 $, $ b =1 $, $ n=2 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź