XI OM - I - Zadanie 3

Każdy bok trójkąta o danym polu $ S $ podzielono na trzy równe części i połączono odcinkami punkty podziału co drugi tworząc dwa trójkąty. Obliczyć pole sześciokąta będącego wspólną częścią tych trójkątów.

Rozwiązanie

Rozwiązanie zadania łatwo odczytać z rys. 1. Pole sześciokąta $ 123456 $ równa się $ \frac{2}{3}S $, gdyż sześciokąt ten otrzymuje się z trójkąta $ ABC $ przez obcięcie trzech równych trójkątów narożnych o polu $ \frac{1}{9}S $. Boki trójkątów $ 135 $ i $ 246 $ dzielą się wzajemnie na równe odcinki gdyż np. w trapezie $ 1234 $ przekątne $ 13 $ i $ 24 $ dzielą się na części będące w takim stosunku jak podstawy $ 23 $ i $ 14 $, tj. w stosunku $ 1 \colon 2 $, wobec czego np. odcinek $ II\ 2 $ równa się trzeciej części odcinka $ 42 $. Sześciokąt $ 123456 $ składa się z $ 18 $ trójkątów o równych polach, a sześciokąt zakreskowany $ I\ II\ III\ IV\ V\ VI $ z $ 6 $ trójkątów o takich samych polach. Pole zakreskowanego sześciokąta wynosi więc $ \frac{2}{9} S $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź