XI OM - I - Zadanie 5

Znaleźć wszystkie liczby całkowite $ x $ i $ y $ spełniające równanie

\[<br />
(1) \qquad (x + 2)^4 - x^4 = y^3.<br />
\]

Rozwiązanie

Ponieważ

\[<br />
(x + 2)^4 - x^4 = [(x + 2)^2 + x^2] [(x^2 + 2)^2 - x^2] = 8 (x + 1) [(x + 1)^2 + 1],<br />
\]

więc równanie (1) można napisać w postaci

\[<br />
(2) \qquad 8 (x + 1) [(x + 1)^2 + 1] = y^3.<br />
\]

Podstawiając w (2)

\[<br />
x + 1 = u, \      y = 2v<br />
\]

otrzymujemy równanie

\[<br />
(3) \qquad  u^3 + u = v^3.<br />
\]

Jeżeli para liczb całkowitych $ (x, y) $ jest rozwiązaniem równania (2), to $ y $ jest liczbą parzystą, zatem $ (u, v) $ jest parą liczb całkowitych, spełniających równanie (3). Odwrotnie każdej parze $ (u, v) $ liczb całkowitych spełniających równanie (3) odpowiada para liczb całkowitych $ x = u - 1 $, $ y = 2v $ spełniających równanie (2). Zadanie sprowadza się zatem do wyznaczenia rozwiązań całkowitych równania (3). Spostrzegamy natychmiast, że rozwiązaniem takim jest $ u = 0 $, $ v = 0 $; udowodnimy, że innych rozwiązań nie ma. Istotnie, gdyby para liczb całkowitych $ (u, v) $ spełniała równanie (3) i była różna od pary $ (0, 0) $, to byłoby $ u \ne 0 $ i $ v \ne 0 $ i zachodziłby jeden z przypadków:

a) $ u > 0 $; wobec (3) byłoby wówczas $ v > u $, zatem $ v \geq u + 1 $, więc $ v^3 \geq u^3 + 3u^2 + 3u + 1 $ i $ v^3 > u^3 + u $, co przeczyłoby założeniu (3);

b) $ u < 0 $; wówczas byłoby $ v < u $, zatem $ v \leq u - 1 $, stąd $ v^3 \leq u^3 - 3u^2 + 3u - 1 $, więc $ v^3 < u^3 + u $, co znowu jest sprzeczne ż (3).

Zatem jedynym rozwiązaniem równania (3) w liczbach całkowitych jest $ u = 0 $, $ v = 0 $, a jedynym takimże rozwiązaniem równania (2) jest $ x = - 1 $, $ y = 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź