XI OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli liczby $ a $, $ b $, $ c $, z których żadna nie jest zerem spełniają zależność

\[<br />
(1) \qquad a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3 = abc (a^3 + b^3 + c^3)<br />
\]

to można je ustawić w takim porządku, że utworzą postęp geometryczny.

Rozwiązanie

Z trzech różnych od zera liczb $ a $, $ b $, $ c $ można utworzyć postęp geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy któraś z nich jest średnią geometryczną dwóch pozostałych, tzn. gdy któraś z różnic $ ab - c^2 $, $ bc - a^2 $, $ ca - b^2 $ równa się zeru, co jest równoważne warunkowi

\[<br />
(2) \qquad (ab - c^2)(bc - a^2) (ca - b^2) = 0.<br />
\]

Mamy więc dowieść, że z równości (1) wynika równość (2). Zależności (1) możemy nadać postać

\[<br />
(3) \qquad a^4bc - a^3(b^3 + c^3) + abc (b^3 + c^3) - b^3c^3 = 0.<br />
\]

Oznaczając lewą stronę równości (3) literą $ L $, przekształcimy ją jak następuje

\[<br />
\begin{split}<br />
L & = bc (a^4 - b^2 c^2) - a(b^3 + c^3) (a^2 - bc) = \\<br />
& = (a^2 - bc) [bc (a^2 + bc) - a (b^3 + c^3)] =\\<br />
& = (a^2 - bc) [ab (ac - b^2) + c^2 (b^2 - ac)] =\\<br />
& = (a^2 - bc) (b^2 - ac) (c^2 - ab).<br />
\end{split}<br />
\]

Okazało się, że warunek (1) jest równoważny warunkowi (2).

Powyższy rachunek możną by zastąpić następującym krótkim rozumowaniem. Z 3 liczb $ a $, $ b $, $ c $ co najmniej dwie są tego samego znaku; niech np. $ bc > 0 $. Jeżeli w lewej stronie równości (3) zastąpimy $ a^2 $ przez $ bc $ otrzymamy wyrażenie

\[<br />
b^3c^3 - abc (b^3 + c^3) + abc (b^3 + c^3) - b^3c^3<br />
\]

równe tożsamościowo zeru. Stąd wynika, że liczby $ \sqrt{bc} $ i $ - \sqrt{bc} $ są pierwiastkami wielomianu $ L $ zmiennej $ a $, wielomian ten jest zatem podzielny przez $ a^2 - bc $. Ponieważ wyrażenie $ L $ jest symetryczne względem $ a $, $ b $, $ c $, więc jest podzielne również przez $ b^2 - ac $ i przez $ c^2 - ab $, wobec czego

\[<br />
L = k \cdot (a^2 - bc) (b^2 - ac) (c^2 - ab),<br />
\]

a ponieważ w wyrażeniu $ L $ wyrazem z najwyższą potęgą $ a $ jest $ a^4 bc $, więc $ k = 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź