XI OM - I - Zadanie 9

a) Znaleźć warunek konieczny i dostateczny do tego, aby równania kwadratowe

\[<br />
x^2 + p_1x + q_1 = 0<br />
\]
\[<br />
x^2 + p_2x + q_2 = 0<br />
\]

miały wspólny pierwiastek.

b) Dowieść, że jeżeli te równania mają wspólny pierwiastek, ale nie są identyczne, a liczby $ p_1 $, $ q_1 $, $ p_2 $, $ q_2 $ są wymierne, to pierwiastki danych równań są wymierne.

Rozwiązanie

a) Przypuśćmy, że pewna liczba $ x $ spełnia oba równania (1). Warunek poszukiwany znajdziemy rugując $ x $ z tych równań, co możemy wykonać np. w sposób następujący.

Jeżeli $ p_1 \ne p_2 $, to możemy równania (1) rozwiązać względem $ x $ i $ x^2 $, co daje

\[<br />
(2) \qquad<br />
x   = -\frac{q_2-q_1}{p_2-p_1},\<br />
x^2 =  \frac{p_1q_2-p_2q_1}{p_2-p_1},<br />
\]

a stąd jako wynik rugowania $ x $ otrzymujemy równość

\[<br />
(3) \qquad<br />
\frac{p_1q_2-p_2q_1}{p_2-p_1} =<br />
\left( \frac{q_2-q_1}{p_2-p_1} \right)^2<br />
\]

lub po łatwym przekształceniu równość

\[<br />
(4) \qquad (p_1 - p_2) (p_1q_2-p_2q_1) + (q_1-q_2)^2 = 0.<br />
\]

Jeżeli $ p_1 = p_2 $, to odejmując równości (1) otrzymujemy $ q_1- q_2= 0 $. Równość (4) jest wówczas spełniona. Równość (4) jest więc warunkiem koniecznym na to, aby równania (1) miały wspólny pierwiastek. Jest to zarazem warunek dostateczny. Jeżeli bowiem $ p_1 \ne p_2 $, to z równości (4) wynika równość (3), wobec czego liczba

\[<br />
(5) \qquad x = - \frac{q_2 - q_1}{p_2 - p_1}<br />
\]

jest wspólnym pierwiastkiem równań (2), więc też i równań (1). Jeżeli zaś $ p_1 = p_2 $, to z równości (4) wynika, że $ q_1 = q_2 $; oba równania (1) są wtedy jednakowe.

Jeżeli współczynniki $ p_1 $, $ q_1 $, $ p_2 $, $ q_2 $ danych równań są rzeczywiste i spełniają warunek (4), to, w przypadku gdy $ p_1 \ne p_2 $, wspólny pierwiastek tych równań dany wzorem (5) jest liczbą rzeczywistą, więc i pozostałe ich pierwiastki są rzeczywiste; w przypadku zaś gdy $ p_1 = p_2 $, oba równania mają te same pierwiastki, które mogą być jednak liczbami urojonymi.

b) Jeżeli liczby $ p_1 $, $ q_1 $, $ p_2 $, $ q_2 $ są wymierne, a równania (1) mają wspólny pierwiastek, ale nie są identyczne, to $ p_1 \ne p_2 $ i wspólny pierwiastek $ x_1 $ jest określony wzorem (5), a więc jest on liczbą wymierną. W takim razie i pozostałe pierwiastki $ x_2 $ i $ x_3 $ równań (1) są liczbami wymiernymi, gdyż są to liczby $ x_2 = - p_1 - x_1 $ i $ x_3 = - p_2 - x_1 $.

Uwaga 1. Rugowanie $ x $ z równań (1) można wykonać bez rozróżniania dwóch przypadków. Mianowicie rugujemy najpierw $ x^2 $ z równań (1) i otrzymujemy równanie

\[<br />
(6) \qquad (p_1 - p_2) x + q_1 - q_2 = 0,<br />
\]

następnie rugujemy $ x^2 $ z równań

\[<br />
(p_1 - p_2) x^2 + (q_1 - q_2) x = 0<br />
\textrm{ i }<br />
x^2 + p_1x + q_1 = 0,<br />
\]

co daje równanie

\[<br />
(7) \qquad [p_1 (p_1 - p_2) - (q_1 - q_2)] x + q_1 (p_1 - p_2) = 0.<br />
\]

Wreszcie rugujemy $ x $ z równań (6) i (7) i otrzymujemy warunek

\[<br />
q_1 (p_1 - p_2)^2 - (q_1 - q_2) [p_1 (p_1 - p_2) - (q_1 - q_2)] = 0,<br />
\]

który łatwo przekształcić do postaci (4).

Uwaga 2. Wniosek, że przy założeniach wymienionych w punkcie b) pierwiastki danych równań są wymierne, można uzyskać bez odwoływania się do a), w szczególności do wzoru (5) na wspólny pierwiastek równań (1). Wystarczy bowiem zauważyć, że gdyby wspólny pierwiastek tych równań był liczbą niewymierną, to miałby postać $ \alpha + \varepsilon \sqrt{\beta} $, gdzie $ \alpha $ i $ \beta $ oznaczają liczby wymierne a $ \varepsilon^2 = 1 $. W takim razie drugi pierwiastek każdego z równań (1) byłby równy $ \alpha - \varepsilon \sqrt{\beta} $; oba równania miałyby zatem te same pierwiastki, a że mają one jednakowe współczynniki przy $ x^2 $, więc byłyby identyczne, wbrew założeniu.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź