XI OM - I - Zadanie 10

Znaleźć wzór wyrażający iloczyn

\[<br />
\left( 1 - \frac{4}{1} \right)<br />
\left( 1 - \frac{4}{9} \right)<br />
\left( 1 - \frac{4}{25} \right)<br />
\ldots<br />
\left( 1 - \frac{4}{(2n-1)^2} \right)<br />
\]

w zależności od $ n $.

Rozwiązanie

Oznaczając dany iloczyn literą $ P $ możemy napisać

\[<br />
\begin{split}<br />
P& = \frac{(1 - 4) (9 - 4) (25 - 4) (49 - 4) (81 - 4) \ldots [(2n - 1)^2 - 4]}{1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot 9^2 \cdot \ldots \cdot (2n - 1)^2} =\\<br />
& = \frac{-3 (1 \cdot 5) (3 \cdot 7) (5 \cdot 9) (7 \cdot 11) \cdot \ldots \cdot (2n - 3) (2n+1)}{1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot 9^2 \cdot \ldots \cdot (2n - 1)^2} =\\<br />
& =\frac{1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot \ldots \cdot (2n - 3)^2 (2n - 1) (2n + 1)}{ 1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot \ldots \cdot (2n - 3)^2 \cdot (2n - 1)^2},<br />
\end{split}<br />
\]

zatem

\[<br />
P = - \frac{2n + 1}{2n-1}.<br />
\]

Proponujemy czytelnikom sprawdzenie powyższego wyniku przy użyciu indukcji zupełnej.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź