XI OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że jeżeli czworokąt jest opisany na kole, to można na nim opisać koło wtedy i tylko wtedy gdy cięciwy łączące punkty styczności przeciwległych boków czworokąta z kołem są prostopadłe.

Rozwiązanie

Niech $ ABCD $ będzie czworokątem opisanym na pewnym kole i niech $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $ oznaczają odpowiednio punkty styczności boków $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $ z kołem wpisanym a $ S $ - punkt przecięcia odcinków $ MP $ i $ NQ $ (rys. 16).

Ponieważ styczne do koła poprowadzone w końcach pewnej cięciwy tworzą z tą cięciwą równe kąty, więc oznaczając $ \measuredangle AMS = \delta $, $ \measuredangle AQS= \varepsilon $ mamy $ \measuredangle DPS = \delta $, $ \measuredangle BNS = \varepsilon $, zatem $ \measuredangle CPS = 180^\circ - \delta $, $ \measuredangle CNS = 180^\circ - \varepsilon $. Niech $ \measuredangle MSQ = \varphi $.

W czworokącie $ AMSQ $

\[<br />
\measuredangle A = 360^\circ - \delta - \varepsilon - \varphi,<br />
\]

a w czworokącie $ CNSP $

\[<br />
\measuredangle C = 360^\circ - (180^\circ - \delta) - (180^\circ - \varepsilon) - \varphi.<br />
\]

Dodając te równości otrzymujemy

\[<br />
\measuredangle A + \measuredangle C = 360^\circ - 2 \varphi.<br />
\]

Na czworokącie $ ABCD $ można opisać koło wtedy i tylko wtedy, gdy sumy dwóch kątów przeciwległych wynoszą po $ 180^\circ $. Otóż z ostatniej równości wynika, że $ \measuredangle A + \measuredangle C = 180^\circ $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \varphi = 90^\circ $, tzn. gdy cięciwy $ MP $ i $ NQ $ są prostopadłe c.n.d.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź