XI OM - II - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczby rzeczywiste $ a $ i $ b $ nie są obie równe zeru, to dla każdego naturalnego $ n $

\[<br />
(1) \qquad a^{2n} + a^{2n-1}b + a^{2n-2} b^2 + \ldots + ab^{2n-1} + b^{2n} > 0.<br />
\]

Rozwiązanie

Gdy jedna z liczb $ a $ i $ b $ jest równa zeru lub gdy obie są tego samego znaku, nierówność (1) jest oczywista, gdyż wtedy żaden wyraz lewej strony $ L $ tej nierówności nie jest ujemny. Pozostaje przeprowadzenie dowodu w przypadku, gdy $ a $ i $ b $ są różnych znaków. Z uwagi na symetrię $ L $ względem $ a $ i $ b $ wystarczy rozpatrzyć przypadek $ a > 0 $, $ b < 0 $.

Jeżeli $ b = aq $, to $ q < 0 $ i

\[<br />
L = a^{2n} (1+ q + q^2 + \ldots + g^{2n-1} + q^{2n}),<br />
\]

więc według znanego wzoru na sumę postępu geometrycznego

\[<br />
L = a^{2n} \cdot \frac{1 - q^{2n+1}}{1-q}.<br />
\]

Ponieważ $ q < 0 $ i $ q^{2n+1} < 0 $, więc $ 1 - q > 0 $ i $ 1 - q^{2n+1} > 0 $, a że również $ a^{2n} > 0 $, zatem istotnie $ L > 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź