XI OM - II - Zadanie 2

Dane są równania

\[<br />
\begin{array}{c}<br />
x^2 + p_1x + q_1 = 0\\<br />
x^2 + p_2x + q_2 = 0\\<br />
x^2 + p_3x + q_3 = 0,<br />
\end{array}<br />
\]

z których każde dwa mają wspólny pierwiastek, ale wszystkie trzy nie mają wspólnego pierwiastka. Dowieść, że

\[<br />
(1^\circ) \qquad 2 (p_1p_2 + p_2p_3 + p_3p_1) - (p_1^2 + p_2^2 + p_3^2) = 4 (q_1 + q_2+ q_3)<br />
\]
\[<br />
(2^\circ) \qquad \textrm{pierwiastki tych równań są wymierne, gdy liczby  $p_1$, $p_2$  i  $p_3$ są wymierne}.<br />
\]

Rozwiązanie

Niech $ \alpha $ będzie wspólnym pierwiastkiem pierwszych dwóch równań, a $ \beta $ i $ \gamma $ pozostałymi pierwiastkami pierwszego i drugiego równania; wówczas pierwiastkami trzeciego równania są liczby $ \beta $ i $ \gamma $.

Według wzorów na sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
\alpha + \beta  = - p_1,\\<br />
\alpha + \gamma = - p_2,\\<br />
\beta  + \gamma = - p_3<br />
\end{array}<br />
\textrm{ oraz }<br />
(2) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
\alpha \beta = q_1,\\<br />
\alpha \gamma = q_2,\\<br />
\beta \gamma = q_3.<br />
\end{array}<br />
\]

Z równości (1) wynika, że

\[<br />
(3) \qquad<br />
\alpha = \frac{p_3 - p_1 - p_2}{2},\<br />
\beta  = \frac{p_2 - p_1 - p_3}{2},\<br />
\gamma = \frac{p_1 - p_2 - p_3}{2}.<br />
\]

Podstawiając wyrażenia (3) na $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ do równości (2) i dodając te równości otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{1}{4}<br />
(p_3 & -p_1- p_2) (p_2 - p_1- p_3) + (p_3 -p_1- p_2) (p_1 -p_2- p_3) +\\<br />
& + (p_2 -p_1- p_3) (p_1 -p_2- p_3)] = q_1+ q_2+ q_3,<br />
\end{split}<br />
\]

a stąd po uproszczeniu

\[<br />
2 (p_1p_2 + p_2p_3 + p_3p_1) - (p_1^2 + p_2^2 + p_3^2) = 4 (q_1 + q_2 + q_3).<br />
\]

Jeśli $ p_1 $, $ p_2 $ i $ p_3 $ są liczbami wymiernymi, to na mocy wzorów (3) liczby $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ są wymierne.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź