XI OM - II - Zadanie 3

Dane są dwa okręgi o wspólnym środku $ O $ i punkt $ A $. Zbudować okrąg o środku $ A $ przecinający okręgi dane w takich punktach $ M $ i $ N $, żeby prosta $ MN $ przechodziła przez punkt $ O $.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że pewien okrąg o środku $ A $ przecina okręgi dane w punktach $ M $ i $ N $ leżących na jednej prostej z punktem $ O $. Niech $ S $ będzie środkiem odcinka $ MN $. Zadanie będzie rozwiązane, gdy potrafimy znaleźć punkt $ S $. Jeżeli punkty $ M $ i $ N $ leżą po tej samej stronie punktu $ O $, to

\[<br />
OS = \frac{   OM + ON}{2} = \frac{    r_1 + r_2}{2},<br />
\]

jeśli zaś $ M $ i $ N $ leżą po przeciwnych stronach punktu $ O $, to

\[<br />
OS = \frac{OM-ON}{2} = \frac{r_1-r_2}{2},<br />
\]

gdzie $ r_1 $ i $ r_2 $ oznaczają promienie danych okręgów, przy czym $ r_1 > r_2 $ (rys. 20).

Kąt $ OSA $ jest prosty, gdyż w trójkącie równoramiennym $ MAN $ ($ MA = NA $) środkowa $ AS $ jest jednocześnie wysokością.

Wobec tego punkt $ S $ jest punktem przecięcia jednego z okręgów $ k_1 $ i $ k_2 $ zakreślonych ze środka $ O $ promieniami $ \frac{r_1 + r_2}{2} $ i $ \frac{r_1 - r_2}{2} $ z okręgiem $ k_3 $ o średnicy $ OA $.

Stąd wynika natychmiast sposób wyznaczenia punktu $ S $, a zatem i konstrukcja poszukiwanego okręgu. Istnienie i ilość rozwiązań zależą od istnienia punktów wspólnych okręgów $ k_1 $ i $ k_2 $ z okręgiem $ k_3 $. Warunkiem przecinania się okręgów $ k_1 $ i $ k_3 $ jest nierówność $ \frac{r_1 + r_2}{2} < OA $; gdy $ \frac{r_1 + r_2}{2} = OA $ okręgi te są styczne.

Podobnie warunkiem przecinania się okręgów $ k_2 $ i $ k_3 $ jest nierówność $ \frac{r_1 - r_2}{2} < O A $; gdy $ \frac{r_1 - r_2}{2} = O A $, zachodzi styczność tych okręgów.

Stąd wniosek:

a) gdy $ OA \geq \frac{r_1 + r_2}{2} $, zadanie ma 2 rozwiązania, przy czym
gdy $ OA = \frac{r_1 + r_2}{2} $, jeden z otrzymanych okręgów jest styczny do obu danych okręgów;

b) gdy $ \frac{r_1 - r_2}{2} \leq OA < \frac{r_1 + r_2}{2} $, zadanie ma jedno rozwiązanie, które w przypadku równości $ OA = \frac{r_1 - r_2}{2} $ jest okręgiem stycznym do obu danych okręgów.

c) Gdy $ OA < \frac{r_1 - r_2}{2} $, zadanie nie ma rozwiązań.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź