XI OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $ n $ jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba

\[<br />
2^{n+2} + 3^{2n+1}<br />
\]

jest podzielna przez $ 7 $.

Rozwiązanie

\spos{1} Stosujemy indukcję matematyczną. Gdy $ n = 0 $, twierdzenie jest prawdziwe, gdyż $ 2^2 + 3 = 7 $. Przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe, gdy $ n = k \geq 0 $, wówczas $ 2^{k+2} = 7m + r $, $ 3^{2k+1} = 7l - r $, gdzie $ m $, $ l $ i $ r $ są liczbami całkowitymi nieujemnymi, a wobec tego

\[<br />
2^{k+3} + 3^{2k+3} = 2 \cdot 2^{k+2} + 9 \cdot 3^{2k+1} = 2 (7m + r) + 9 (7l - r) = = 7 (2m + 9l) - 7r = 7 (2m + 9l - r).<br />
\]

Twierdzenie jest więc prawdziwe, gdy $ n = k + 1 $. Stąd wynika na podstawie indukcji prawdziwość twierdzenia dla każdego całkowitego nieujemńego $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź