XI OM - II - Zadanie 5

Dane są na prostej trzy różne punkty $ A $, $ B $, $ C $ i punkt $ S $ poza tą prostą; prostopadle poprowadzone w punktach $ A $, $ B $, $ C $ do prostych $ SA $, $ SB $, $ SC $ przecinają się w punktach $ M $, $ N $, $ P $. Dowieść, że punkty $ M $, $ N $, $ P $, $ S $ leżą na okręgu.

Rozwiązanie

Oznaczenia punktów przyjmiemy w ten sposób, że punkt $ B $ leży między punktami $ A $ i $ C $, punkt $ M $ leży na prostopadłych do $ SB $ i $ SC $, punkt $ N $ - na prostopadłych do $ SC $ i $ SA $, $ A $ punkt $ P $ - na prostopadłych do $ SA $ i $ SB $.

Jeżeli któraś z prostych $ SA $, $ SB $, $ SC $ jest prostopadła do prostej danej, to dwa z punktów $ M $, $ N $, $ P $, na przykład punkty $ N $ i $ P $, pokrywają się z dwoma spośród punktów $ ABC $, wobec czego kąty $ SNM $ i $ SPM $ są proste. Punkty $ M $, $ N $, $ P $, $ S $ leżą w tym przypadku na okręgu o średnicy $ SM $ (rys. 21).

Jeżeli żadna z prostych $ SA $, $ SB $, $ SC $ nie jest prostopadła do danej prostej, to zachodzi jeden z dwóch przypadków:

a) odcinki pochyłe $ SA $, $ SB $, $ SC $ leżą po różnych stronach prostopadłej z punktu $ S $ do danej prostej, na przykład $ SA $ po jednej stronie, a $ SB $ i $ SC $ po drugiej (rys. 22).

Wówczas punkty $ P $ i $ N $ leżą po przeciwnej stronie danej prostej niż punkt $ S $, a punkt $ M $ po tej samej stronie, co punkt $ S $. Ponieważ k4ty $ SAP $ i $ SBP $ są proste, więc punkty $ S $, $ A $, $ P $, $ B $ leżą na okręgu o średnicy $ SP $ i zachodzi równość kątów wpisanych

\[<br />
\measuredangle SAB = \measuredangle SPB.<br />
\]

Podobnie, ponieważ kąty $ SAN $ i $ SCN $ są proste, więc punkty $ S $, $ A $, $ N $, $ C $ leżą na okręgu o średnicy $ SN $, skąd wnioskujemy, jak wyżej, że

\[<br />
\measuredangle SAC = \measuredangle SNC.<br />
\]

Ponieważ $ \measuredangle SAB = \measuredangle SAC $, gdyż punkt $ B $ leży na odcinku $ AC $, więc z powyższych równości wynika, że

\[<br />
\measuredangle SPB = \measuredangle SNC.<br />
\]

Lecz $ \measuredangle SPB = \measuredangle SPM $, a $ \measuredangle SNC = \measuredangle SNM $, gdyż punkt $ B $ leży na odcinku $ PM $, a punkt $ C $ na odcinku $ NM $, zatem

\[<br />
\measuredangle SPM    = \measuredangle SNM,<br />
\]

stąd zaś wynika, że punkty $ P $ i $ N $ leżą na pewnym okręgu przechodzącym przez punkty $ S $ i $ M $.

b) Wszystkie trzy odcinki $ SA $, $ SB $, $ SC $ leżą po jednej stronie prostopadłej z punktu $ S $ na daną prostą (rys. 23). Wówczas wszystkie trzy punkty $ M $, $ N $, $ P $ leżą po tej samej stronie danej prostej co punkt $ S $ (Czytelnik zechce ten fakt uzasadnić dokładnie; najlepiej skorzystać z twierdzenia, że dwie proste przecięte trzecią prostą przecinają się po tej stronie owej trzeciej prostej, po której suma utworzonych przez nie kątów jednostronnych wewnętrznych jest mniejsza od $ 180^\circ $). Ponieważ $ \measuredangle SAP = \measuredangle SBP = 90^\circ $, więc punkty $ S $, $ A $, $ B $, $ P $ leżą na okręgu o średnicy $ SP $, przy czym punkty $ S $ i $ B $ przedzielają punkty $ A $ i $ P $, wobec czego kąty o wierzchołkach $ A $ i $ P $ wpisane w ten okrąg dają w sumie $ 180^\circ $, tj.

\[<br />
\measuredangle SAB = 180^\circ - \measuredangle SPB .<br />
\]

Podobnie $ \measuredangle  SAN = \measuredangle  SCN = 90^\circ $, więc punkty $ S $, $ A $, $ C $, $ N $ leżą na okręgu o średnicy $ SN $, przy czym pary punktów $ S $, $ C $ i $ A $, $ N $ przedzielają się, więc jak wyżej

\[<br />
\measuredangle SAC = 180^\circ - \measuredangle SNC.<br />
\]

Lecz $ \measuredangle   SAB =\measuredangle  SAC $, więc z powyższych równości wynika

\[<br />
\measuredangle SPB=\measuredangle SNC.<br />
\]

Ponieważ punkt $ B $ leży między punktami $ A $ i $ C $, więc punkt $ P $ leży między punktami $ B $ i $ M $ (gdyż jeżeli punkt $ A $ porusza się w kierunku $ AC $, punkt $ P $ oddala się od punktu $ B $), a punkt $ N $ między punktami $ C $ i $ M $. Wobec tego $ \measuredangle SPB = 180^\circ - \measuredangle SPM $, $ \measuredangle SNC = 180^\circ - \measuredangle SNM $ i z poprzedniej równości otrzymujemy

\[<br />
\measuredangle SPM = \measuredangle SNM.<br />
\]

Stąd wynika, jak poprzednio, że punkty $ P $ i $ N $ leżą na okręgu przechodzącym przez punkty $ S $ i $ M $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź