XI OM - III - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli $ n $ jest liczbą całkowitą większą od $ 4 $, to $ 2^n $ jest większe, od $ n^2 $.

Rozwiązanie

Ponieważ $ 2^5 > 5^2 $, więc nierówność $ 2^n > n^2 $ jest prawdziwa dla $ n = 5 $. Przypuśćmy, że ta nierówność jest prawdziwa, gdy $ n $ równa się pewnej liczbie całkowitej $ k > 4 $, tj. że $ ^k > k^2 $. Wówczas

\[<br />
2^{k +1} = 2^k \cdot 2 > k^2 \cdot 2 = k^2 + k^2 > k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2.<br />
\]

Nierówność $ 2^n > n^2 $ jest więc prawdziwa, gdy $ n = k + 1 $. Na mocy indukcji zupełnej nierówność ta jest prawdziwa dla każdego całkowitego $ n > 4 $.

W powyższym dowodzie oparliśmy się na tym, że gdy $ k > 4 $, to $ k^2 > 2k + 1 $. Istotnie, nierówność $ k^2 > 2k + 1 $ jest równoważna nierówności $ k (k - 2) > 1 $, która jest prawdziwa dla $ k > 4 $, a nawet dla $ k \geq 3 $.

Uwaga. Prawdziwe jest twierdzenie ogólniejsze: jeżeli $ a $ jest liczbą całkowitą większą od $ 1 $, a $ n $ - liczbą całkowitą większą od $ a^2 $, to

\[<br />
(1) \qquad a^n > n^a.<br />
\]

Dla $ a = 2 $ dowód już przeprowadziliśmy wyżej, przyjmiemy więc że $ a > 2 $ i zastosujemy indukcję zupełną. Nierówność (1) jest prawdziwa, gdy $ n = a^2 $; istotnie $ a^{a^2} $ jest przy $ a > 2 $ większe niż $ (a^2)^a = a^{2n} $, gdyż z nierówności $ a > 2 $ wynika, że $ a^2 > 2a $.

Przypuśćmy, że dla pewnego całkowitego $ k \geq a^2 $ jest

\[<br />
a^k > k^a;<br />
\]

mamy dowieść, że

\[<br />
a^{k+1} > (k + 1)^a.<br />
\]

Według założenia indukcyjnego $ a^{k+1} = a^k \cdot a > k^a \cdot a $, więc wystarczy dowieść, że gdy $ a > 2 $ i $ k \geq a^2 $, to $ k^a \cdot a > (k + 1)^a $, czyli że

\[<br />
\left( \frac{k}{k+1} \right)^a \cdot a > 1.<br />
\]

W rzeczy samej, gdy $ a > 2 $ i $ k \geq a^2 $, to

\[<br />
\begin{split}<br />
\left( \frac{k}{k+1} \right)^a \cdot a &=<br />
\left( 1 - \frac{1}{k+1} \right)^a \cdot a ><br />
\left( 1 - \frac{a}{k+1} \right) a = \\<br />
&=a - \frac{a^2}{k+1} \geq a - \frac{a^2}{a^2+1} > a-1 > 1,<br />
\end{split}<br />
\]

czego należało dowieść. (W dowodzie oparliśmy się na twierdzeniu, że gdy $ n $ jest liczbą całkowitą większą od $ 1 $, a $ d > -1 $, to $ (1 + d)^n > 1 + nd $. Dowód tej nierówności łatwo uzyskać metodą indukcji. Patrz Zadania z Olimpiad Matematycznych, tom II, zadanie 36).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź