XI OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli równanie

\[<br />
(1) \qquad x^4 + ax + b = 0<br />
\]

ma dwa równe pierwiastki, to

\[<br />
(2) \qquad<br />
\left( \frac{a}{4} \right)^4 =<br />
\left( \frac{b}{3} \right)^3.<br />
\]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że równanie (1) ma dwa pierwiastki równe $ \alpha $; wtedy $ \alpha^4 + a\alpha + b = 0 $, zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
x^4 + ax + b &= (x^4 + ax + b) - (\alpha^4 + a\alpha + b) =\\<br />
&= (x^4 - \alpha^4) +  a (x - \alpha) = (x - \alpha) Q (x),<br />
\end{split}<br />
\]

gdzie

\[<br />
Q (x) = x^3 + \alpha x^2 + \alpha^2 x + \alpha^3 + a;<br />
\]

liczba $ \alpha $ jako podwójny pierwiastek wielomianu $ x^4 + ax + b $ jest pierwiastkiem wielomianu $ Q (x) $, zatem

\[<br />
Q (\alpha) = 4\alpha^3 + a = 0.<br />
\]

Rugując $ \alpha $ z równań

\[<br />
\alpha^4 + a\alpha + b = 0,\<br />
4 \alpha^3 + a = 0<br />
\]

otrzymujemy warunek (2):

\[<br />
\left( \frac{a}{4} \right)^4 =<br />
\left( \frac{b}{3} \right)^3.<br />
\]

Uwaga. Warunek (2) jest nie tylko konieczny, ale i dostateczny do tego, by równanie (1) miało dwa równe pierwiastki. Żeby to udowodnić, wystarczy rozumowanie przeprowadzone wyżej zmodyfikować w sposób następujący.

Wielomian $ x^4 + ax + b $ ma wtedy i tylko wtedy równe pierwiastki, gdy istnieje taka liczba a, że $ x^4 + ax + b = (x - \alpha)^2 \cdot R (x) $, gdzie $ R (x) $ jest wielomianem.

Otóż przy dowolnym $ \alpha $ możemy napisać, wykonując dzielenie przez $ x - \alpha $,

\[<br />
x^4 + ax + b = (x - \alpha) (x^3 + \alpha x^2 + \alpha^2x + \alpha^3 + a) + \alpha^4 + a \alpha + b<br />
\]

oraz

\[<br />
x^3 + \alpha x^2 + \alpha^2x + \alpha^3 + a = (x - \alpha) (x^2 + 2\alpha x + 3\alpha^2) + 4\alpha^3 + a.<br />
\]

Z tych równości wynika, że wielomian $ x^4 + ax + b $ jest wtedy i tylko wtedy podzielny przez $ (x - \alpha)^2 $, gdy

\[<br />
(3) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
\alpha^4 + a\alpha + b = 0 \\<br />
4\alpha^3 + a = 0.<br />
\end{array}<br />
\]

Układ warunków (3) można zastąpić przez układ równoważny

\[<br />
(4) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
3a \alpha + 4b = 0,\\<br />
4\alpha^3 + a = 0,<br />
\end{array}<br />
\]

w którym pierwsza równość otrzymana została przez odjęcie od siebie równości (3) pomnożonych odpowiednio przez $ 4 $ i przez $ \alpha $.

Gdy $ a \ne 0 $, to obliczając $ \alpha $ z pierwszej równości (4) i podstawiając otrzymane wyrażenie do drugiej, otrzymujemy układ równoważny

\[<br />
\nr{5a}<br />
\begin{array}{c}<br />
\alpha = - \frac{4b}{3a}\\<br />
\left( \frac{a}{4} \right)^4 = \left( \frac{b}{3} \right)^3.<br />
\end{array}<br />
\]

A zatem gdy $ a \ne 0 $, to równanie (1) ma wtedy i tylko wtedy dwa pierwiastki równe, gdy spełniona jest druga z równości (5a), czyli warunek (2), przy czym pierwiastki te mają wartość określoną przez pierwszą z równości (5a).

Jeśli $ a = 0 $, to zamiast warunków (5a) otrzymujemy warunki

\[<br />
\nr{5b}<br />
\begin{array}{c}<br />
a = 0, \\<br />
b = 0.<br />
\end{array}<br />
\]

Warunek $ b=0 $ jest oczywiście w tym przypadku równoważny warunkowi (2).

Ćwiczenie. Wykazać, że równanie (1) ma $ 3 $ równe pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy $ a = 0 $ i $ b = 0 $, tzn. gdy wszystkie $ 4 $ jego pierwiastki są zerami.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź