XI OM - III - Zadanie 5

Z cyfr $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 5 $, $ 6 $, $ 7 $, $ 8 $, $ 9 $ utworzono wszystkie możliwe liczby czterocyfrowe o cyfrach różnych. Znaleźć sumę tych liczb.

Rozwiązanie

Obliczymy, ile jest liczb czterocyfrowych o cyfrach różnych, jakie można utworzyć z cyfr od $ 1 $ do $ 9 $. Pierwszą cyfrę $ c_1 $ można wybrać $ 9 $-ma sposobami; gdy $ c_1 $ jest już ustalone, drugą cyfrę $ c_2 $ możemy wybrać $ 8 $-ma sposobami; gdy ustalone są $ c_1 $ i $ c_2 $, to na $ c_3 $ mamy $ 7 $ możliwości; gdy wreszcie ustalone są cyfry $ c_1 $, $ c_2 $ i $ c_3 $, dla czwartej cyfry $ c_4 $ pozostaje jeszcze $ 6 $ możliwości. Wobec tego zbiór wszystkich rozważanych liczb składa się z $ 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 $ liczb.

Do każdej liczby tego zbioru istnieje w nim określona inna liczba, której cyfry dopełniają odpowiednie cyfry danej liczby do dziesięciu. Wszystkie liczby zbioru można zatem połączyć w pary, zaliczając do tej samej pary takie dwie liczby, których odpowiednie cyfry dają w sumie $ 10 $, jak np. $ 3562 $ i $ 7548 $.

Wszystkich par jest $ \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 $; suma liczb jednej pary wynosi $ 1000 \cdot 10 + 100 \cdot 10 + 10 \cdot 10 + 10 = 11110 $, zatem suma wszystkich liczb rozważanego zbioru jest równa

\[<br />
\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 11110 = 16798320.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź