XI OM - III - Zadanie 6

Na obwodzie prostokąta obrano punkt $ M $. Znaleźć najkrótszą drogę, której początkiem i końcem jest punkt $ M $ i która ma z każdym bokiem prostokąta jakiś punkt wspólny.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że punkt $ M $ znajduje się na boku $ AB $ prostokąta $ ABCD $ (rys. 31).

Na bokach $ BC $, $ CD $ i $ DA $ obieramy odpowiednio punkty $ N $, $ P $, $ Q $ w sposób następujący. Jeżeli punkt $ M $ nie pokrywa się z żadnym z punktów $ A $ i $ B $, to prowadzimy $ MN \parallel AC $, $ NP \parallel BD $, $ PQ \parallel AC $; wówczas $ MQ \parallel BD $ i otrzymujemy drogę $ MNPQM $ stanowiącą obwód równoległoboku. Jeżeli punkt $ M $ pokrywa się z punktem $ A $, to punkt $ Q $ również pokrywa się z punktem $ A $, a punkty $ P $ i $ N $ pokrywają się z punktem $ C $; droga $ MNPQM $ jest wówczas podwójnie przebieganą przekątną $ AC $. Podobnie, gdy punkt $ M $ leży w punkcie $ B $, droga $ MNPQM $ daje podwójną przekątną $ BD $.

Udowodnimy, że określona w powyższy sposób droga $ MNPQM $ jest żądaną drogą najkrótszą.

Dowiedziemy najpierw, że droga $ MNPQM $, której długość oznaczymy króko literą $ \lambda $, jest krótsza od długości $ \lambda ' $ każdej innej łamanej $ MN'P'Q'M $, w której punkty $ N' $, $ P' $, $ Q' $ leżą odpowiednio na bokach $ BC $, $ CD $ i $ DA $.

Założymy przy tym, że punkt $ M $ jest różny od $ A $ i od $ B $. W przypadku, gdy $ M $ pokrywa się z $ A $ lub $ B $, dowód wymaga drobnej jedynie modyfikacji, czego sprawdzenie pozostawiamy czytelnikowi.

Niech $ M_1 $ będzie punktem symetrycznym do punktu $ M $ względem prostej $ AD $, a $ M_2 $ - punktem symetrycznym do punktu $ M $ względem prostej $ BC $. Punkty $ P $, $ Q $ i $ M_1 $ leżą na jednej prostej, gdyż $ \measuredangle 1 = \measuredangle 2 $ jako kąty równe kątom utworzonym przez przekątne $ AC $ i $ DB $ z bokiem $ AD $, a $ \measuredangle 1 = \measuredangle 3 $ jako kąty symetryczne, więc $ \measuredangle 2 = \measuredangle 3 $ i odcinek $ QM_1 $ jest przedłużeniem odcinka $ PQ $. Podobnie leżą na jednej prostej punkty $ P $, $ N $ i $ M_2 $. Ponieważ $ MN = M_2N $ i $ MQ = M_1Q $, więc trójkąt $ M_1PM_2 $ jest równoramienny ($ M_1P = M_2P $) i długość $ \lambda $ drogi $ MNPQM $ równa się sumie długości odcinków $ M_1P $ i $ M_2P $.

Długość $ \lambda ' $ drogi $ MN'P'Q'M $ równa długości drogi $ M_2N'P'Q'M_1 $ jest co najmniej równa sumie długości odcinków $ M_1P' $ i $ M_2P' $, gdyż $ M_1Q' + Q'P' \geq M_1P' $ a $ M_2N' + N'P' \geq M_2P' $. Wreszcie $ M_1P' + M_2P' \geq M_1P + M_2P' $; jeżeli bowiem $ M_3 $ jest punktem symetrycznym do punktu $ M_1 $ względem prostej $ CD $, to punkty $ M_2 $, $ P $, $ M_3 $ leżą na jednej prostej i $ M_1P' + M_2P' = M_3P' + M_2P' \geq M_3P + M_2P = M_1P + M_2P $. Z powyższych przesłanek wynika, że $ \lambda' \geq \lambda $, przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkty $ N' $, $ P' $, $ Q' $ pokrywają się z punktami $ N $, $ P $, $ Q $.

Dowiedziemy następnie, że każda łamana $ MP'N'Q'M $ (rys. 32), w której punkty $ P' $, $ N' $, $ Q' $ leżą na bokach $ CD $, $ BC $ i $ DA $ prostokąta, jest dłuższa od $ \lambda $.

Istotnie, oznaczając literą $ S $ punkt przecięcia odcinków $ MP' $ i $ N'Q' $ mamy

\[<br />
MS + SN' > MN' \textrm{ i } P'S + SQ' > P'Q',<br />
\]

zatem

\[<br />
MP' + N'Q' > MN' + P'Q',<br />
\]

skąd

\[<br />
MP' + P'N' + N'Q' + Q'M > MN' + N'P' + P'Q' + Q'M,<br />
\]

tzn. łamana $ MP'N'Q'M $ jest dłuższa od łamanej $ MN'P'Q'M $, a tym samym dłuższa od $ \lambda $.

Teraz już łatwo wykazać, że długość $ \lambda $ drogi $ MNPQM $ jest mniejsza od długości każdej innej drogi o początku i końcu w $ M $, która ma punkty wspólne ze wszystkimi bokami prostokąta. Drogę taką możemy bowiem oznaczyć

\[<br />
M \ldots K_1 \ldots K_2 \ldots K_3 \ldots M,<br />
\]

gdzie $ K_1 $, $ K_2 $, $ K_3 $ oznaczają punkty leżące na $ 3 $ różnych bokach prostokąta (bez boku $ AB $). Długość tej drogi jest co najmniej równa długości łamanej $ MK_1K_2K_3M $, ta zaś z kolei - jak wykazaliśmy poprzednio - jest co najmniej równa długości $ \lambda $ łamanej $ MNPQM $, przy czym równość zachodzi wtedy, gdy punkty $ K_1 $, $ K_2 $, $ K_3 $ pokrywają się odpowiednio bądź z punktami $ N $, $ P $, $ Q $, bądź z punktami $ Q $, $ P $, $ N $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź