X OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że gdy $ n $ jest liczbą naturalną większą od $ 1 $, to

\[<br />
\left( 1 - \frac{1}{4} \right)<br />
\left( 1 - \frac{1}{9} \right)<br />
\left( 1 - \frac{1}{16} \right)<br />
\ldots<br />
\left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) =<br />
\frac{n+1}{2n}.<br />
\]

Rozwiązanie

Przekształcamy lewą stronę $ L $ równości (1):

\[<br />
\begin{split}<br />
L &= \frac{2^2 - 1}{2^2} \cdot \frac{3^2-1}{3^2} \cdot \frac{   4^2 - 1}{4^2} \cdot \ldots \cdot \frac{n^2 - 1}{n^2}= \frac{(2 + 1) (2 - 1)}{2^2} \cdot \\<br />
&\cdot \frac{(3 + 1) (3 - 1)}{3^2} \cdot \frac{(4 + 1) (4 - 1)}{4^2} \cdot \ldots \cdot \frac{(n +1)(n- 1)}{n^2} = \\<br />
&= \frac{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (n + 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n - 1)}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdot \ldots \cdot n^2} = \\<br />
&= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdot \ldots \cdot (n - 1)^2 \cdot n \cdot (n + 1)}{2^2 \cdot 3^2 \cdot \ldots \cdot n^2};<br />
\end{split}<br />
\]

po skróceniu ułamka przez $ 2 \cdot 3^2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (n - 1)^2 \cdot n $ otrzymujemy

\[<br />
L = \frac{n+1}{2n}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź