X OM - I - Zadanie 2

Wykazać, że

\[<br />
(1) \qquad \sqrt[3]{20 + 14 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14 \sqrt{2}} = 4.<br />
\]

Rozwiązanie

Niech

\[<br />
(2) \qquad x = \sqrt[3]{20 + 14 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14 \sqrt{2}};<br />
\]

wobec tego

\[<br />
x^3 = (20 + 14 \sqrt{2}) + (20 - 14 \sqrt{2}) + 3 \sqrt[3]{(20 + 14 \sqrt{2}) (20 - 14 \sqrt{2})} \cdot x,<br />
\]

skąd

\[<br />
(3) \qquad x^3 - 6x - 40 = 0.<br />
\]

Równanie powyższe ma pierwiastek $ x = 4 $; rozkładając lewą stronę na czynniki, można je napisać w postaci:

\[<br />
(x - 4) (x^2 + 4x + 10) = 0,<br />
\]

skąd widać, że nie ma ono innych pierwiastków rzeczywistych. Wobec tego zachodzi równość (1).

Uwaga 1. Ponieważ

\[<br />
\sqrt[3]{20 + 14 \sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{20 - 14 \sqrt{2}} =<br />
\sqrt[3]{20^2 - 14^2 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} = 2,<br />
\]

więc biorąc pod uwagę równość (1) widzimy, że $ \sqrt[3]{20 + 14 \sqrt{2}} $ i $ \sqrt[3]{20 - 14 \sqrt{2}} $ są pierwiastkami równania kwadrat $ z^2 - 4z + 2 = 0 $, skąd wynika, że

\[<br />
\sqrt[3]{20 + 14 \sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2},\<br />
\sqrt[3]{20 - 14 \sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}.<br />
\]

Uwaga 2. Zadanie powyższe wiąże się z teorią równania stopnia trzeciego (Por. Mostowski i Stark, Algebra wyższa, część III, PWN 1954, lub W.Sierpiński, Zasady algebry wyższej, Warszawa-Wrocław, 1946). Jeżeli w równaniu

\[<br />
(4) \qquad x^3 + px + q = 0<br />
\]

współczynniki $ p $ i $ q $ są rzeczywiste i spełniają nierówność

\[<br />
\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} > 0,<br />
\]

to równanie (4) ma jeden pierwiastek rzeczywisty określony wzorem

\[<br />
(5) \qquad<br />
x = \sqrt[3]{ - \frac{q}{2} + \sqrt{ \frac{p^3}{27}  \frac{q^2}{4}}} +<br />
    \sqrt[3]{ - \frac{q}{2} - \sqrt{ \frac{p^3}{27}  \frac{q^2}{4}}},<br />
\]

w którym należy wziąć rzeczywiste wartości pierwiastków sześciennych. Wzór (5) bywa nazywany wzorem Cardano. Dla rozważanego wyżej równania (3) wzór (5) daje właśnie wartość (2).

Zauważmy, że każdy wzór postaci

\[<br />
x = \sqrt[3]{ m + \sqrt{n}} + \sqrt[3]{ m - \sqrt{n}}<br />
\]

może być zapisany w postaci (5), jeżeli oznaczymy $ q = 2m $, $ p^3 = 27 (n - m^2) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź