X OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli punkt $ P $ porusza się w płaszczyźnie trójkąta $ ABC $, to trójkąt $ S_1S_2S_3 $, którego wierzchołkami są środki ciężkości $ S_1 $, $ S_2 $ i $ S_3 $ trójkątów $ PBC $, $ PCA $ i $ PAB $ nic zmienia kształtu ani wielkości.

Rozwiązanie

Jeżeli wierzchołek $ P $ trójkąta $ PAB $ przesunąć do punktu $ P' $ (rys. 6a), wówczas środek ciężkości $ S_3 $ tego trójkąta przesunie się do punktu $ S'_3 $.

Wektor $ S_3S'_3 $ ma ten sam kierunek co wektor $ PP' $ i trzy razy mniejszą długość, gdyż te wektory są jednokładne (wprost) względem punktu $ N $ w skali $ \frac{1}{3} $. O taki sam wektor przesunie się każdy z punktów $ S_1 $ i $ S_2 $, a więc i cały trójkąt $ S_1S_2S_3 $. Okazało się, że przy zmianie położenia punktu $ P $ trójkąt $ S_1S_2S_3 $ ulega przesunięciu równoległemu, nie zmienia zatem wielkości ani kształtu.

Uwaga. Zadanie można uogólnić zastępując trójkąt $ ABC $ dowolnym wielokątem.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź