X OM - I - Zadanie 5

Rozwiązać równanie

\[<br />
\sqrt{x - 2 \sqrt{x-1}} - \sqrt{x + 3 - 4 \sqrt{x-1}} = 1.<br />
\]

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że pierwiastkami danego równania mogą być tylko liczby nie mniejsze od $ 1 $. Gdy $ x \geq 1 $, to $ x - 2 \sqrt{x - 1} = x - 1 - 2\sqrt{x-1} + 1 = ( \sqrt{x - 1} - 1)^2 $, a $ x + 3 - 4 \sqrt{x - 1} = x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} + 4 = (\sqrt{x - 1} - 2)^2 $, więc dane równanie można napisać w postaci

\[<br />
\sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2}  -<br />
\sqrt{(\sqrt{x-1} - 2)^2}  =1<br />
\]

lub w postaci

\[<br />
(1) \qquad | \sqrt{x - 1} - 1 | - | \sqrt{x-1} - 2 | = 1.<br />
\]

Przypuśćmy, że liczba $ x $ spełnia równanie (1). Rozważymy $ 3 $ możliwości

a) $ 1 \leq x < 2 $. W tym przedziale równanie (1) przybiera postać

\[<br />
1 - \sqrt{x - 1} - (2 - \sqrt{x - 1}) = 1,<br />
\]

wyraża zatem sprzeczność $ -1 = 1 $, co oznacza, że przypadek a) zdarzyć się nie może.

b) $  2\leq x < 5 $. Dla takich wartości $ x $ równanie (1) możemy napisać w postaci

\[<br />
\sqrt{x - 1} - 1 - (2 - \sqrt{x - 1}) = 1,<br />
\]

co daje

\[<br />
\sqrt{x - 1} = 2 \textrm{ lub } x = 5.<br />
\]

Otrzymaliśmy sprzeczność z warunkiem b), co oznacza, że równanie (1) nie ma pierwiastków spełniających ten warunek;

c) $ x \geq 5 $; równanie (1) przybiera postać

\[<br />
\sqrt{x - 1} - 1 - (\sqrt{x - 1} - 2) = 1.<br />
\]

Otrzymujemy tożsamość $ 1 = 1 $. Znaczy to, że każda liczba spełniająca warunek c) czyni zadość równaniu (1). Z powyższego wynika, że rozwiązaniami danego równania są wszystkie liczby nie mniejsze od $ 5 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź