X OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli $ n $ jest liczbą naturalną większą od $ 1 $, a $ d $ dowolną liczbą dodatnią, to

\[<br />
\textrm{a)} \qquad (1 + d)^n > 1 + nd,<br />
\]
\[<br />
\textrm{b)} \qquad 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n < (n + 1)^n.<br />
\]

Rozwiązanie

a) Według wzoru dwumianowego Newtona

\[<br />
(1 + d)^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}d + \binom{n}{2} d^2 + \ldots + \binom{n}{k} d^k + \ldots + \binom{n}{n} d^n,<br />
\]

gdzie $ \binom{n}{0} = 1 $, a $ \binom{n}{k} = \frac{n (n - 1) \cdot \ldots \cdot (n - k + 1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k} $ dla $ k $ całkowitego dodatniego.

Ponieważ wszystkie wyrazy po prawej stronie tego wzoru są dodatnie, więc pozostawiając tylko dwa pierwsze, otrzymujemy

\[<br />
(1 + d)^n > 1 +nd.<br />
\]

b) Według twierdzenia Cauchy'ego o średniej geometrycznej i średniej arytmetycznej (Por. Zadania z Olimpiad Matematycznych, PZWS, Zadanie Nr 62), średnia geometryczna liczb $ 2, 4, 6, \ldots, 2n $ jest mniejsza od średniej arytmetycznej tych liczb, tzn.

\[<br />
\sqrt[n]{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2n} < n + 1.<br />
\]

Podnosząc obie strony tej nierówności do $ n $-tej potęgi otrzymujemy nierówność żądaną

\[<br />
(1) \qquad 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n < (n+ 1)^n.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź